Calcule a área das regiões do plano delimitadas pelas curvas indicadas em cada caso:
e. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de calcular a área das regiões delimitadas pelas curvas e . A gente vai usar conceitos de cálculo, especificamente de integrais, para encontrar essa área. Primeiro, precisamos identificar onde essas duas curvas se encontram, pois esses pontos vão delimitar as regiões que vamos calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso significa resolver a equação . Vamos organizar tudo para um lado:
Agora, precisamos resolver essa equação cúbica. Podemos tentar fatorar. Testando :
Então, é uma raiz. Fazendo a divisão do polinômio por , obtemos:
Agora, fatoramos o polinômio quadrático:
Portanto, as soluções são , e . Esses são os pontos onde as duas curvas se cruzam.

Passo 3

Agora que sabemos que as curvas se encontram em , e , vamos determinar qual delas está acima da outra em cada intervalo definido por esses pontos.
Vamos escolher um valor de em cada intervalo e comparar os valores de :
  1. Intervalo : Vamos testar
    Aqui, .
  2. Intervalo : Vamos testar
    Aqui, .
  3. Intervalo : Vamos testar
    Aqui, .
  4. Intervalo : Vamos testar
    Aqui, .
Resumindo:
  • De a , .
  • De a , .

Passo 4

Agora que sabemos qual função está acima em cada intervalo, vamos calcular a área entre as curvas. A ideia é integrar a diferença entre as funções no intervalo correspondente.
A fórmula para a área entre duas curvas e de a é:
Á
Vamos aplicar isso aos nossos intervalos:
  1. De a ( ):
    Á
  2. De a ( ):
    Á
Vamos calcular cada integral separadamente.
Cálculo de Á:
Avaliado de a :
Calculando:
Á
Cálculo de Á:
Avaliado de a :
Calculando:
Á
Convertendo para fração:
Á

Passo 5

Agora, somamos as áreas dos dois intervalos para obter a área total entre as curvas:
ÁÁÁ
Para somar, precisamos de denominadores iguais:

Resposta

A área das regiões delimitadas pelas curvas é unidades de área.

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Calcule as derivadas das funções abaixo:
g)
Calcule as primitivas abaixo:
c. .
Calcule as derivadas das funções abaixo:
h)
Calcule as seguintes primitivas:
c. .