Calcule as primitivas abaixo:
c.
.
c.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral
. Esse problema está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente no estudo de integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar integrais de quocientes de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar o denominador para facilitar o trabalho. O denominador é
. Vamos reescrever em ordem decrescente dos graus dos termos:
Para facilitar os cálculos, podemos fatorar um
do denominador:
Passo 3
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático
. Procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
. Então, fatoramos assim:
Portanto, o denominador totalmente fatorado fica:
Passo 4
Agora que temos a fração
, podemos simplificar os sinais:
Para facilitar, vamos expressar a fração como:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar os valores de
,
e
. Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Explicando, cada termo da fração original é representado por um coeficiente
,
ou
. Nosso objetivo é encontrar esses coeficientes para que a igualdade seja verdadeira para todos os valores de
.
Passo 6
Vamos expandir e comparar os coeficientes:
Expanda
:
Expanda
:
Expanda
:
Agora, somamos tudo:
Passo 7
Agrupamos os termos similares:
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de
:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Passo 8
Resolvemos o sistema de equações:
Primeiro, da terceira equação:
Substituímos
na primeira equação:
E na segunda equação:
Agora, temos:
Resolvendo a primeira equação para
:
Substituímos em a segunda equação:
E então:
Passo 9
Agora que encontramos
,
e
, podemos reescrever a fração original:
Simplificando:
Passo 10
Agora, podemos integrar termo a termo:
Aplicando a integral de
, que é
, temos:
Simplificando os coeficientes:
Resposta
A primitiva da função é:
Exercícios relacionados
Inverta a ordem de integração.
;
Encontre a derivada da função.
Calcule as derivadas das funções abaixo:
g)
g)
Calcule a área das regiões do plano delimitadas pelas curvas indicadas em cada caso:
e. .
e.