Calcule as primitivas abaixo:
c. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral . Esse problema está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente no estudo de integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar integrais de quocientes de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o denominador para facilitar o trabalho. O denominador é . Vamos reescrever em ordem decrescente dos graus dos termos:
Para facilitar os cálculos, podemos fatorar um do denominador:

Passo 3

Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e . Então, fatoramos assim:
Portanto, o denominador totalmente fatorado fica:

Passo 4

Agora que temos a fração , podemos simplificar os sinais:
Para facilitar, vamos expressar a fração como:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar os valores de , e . Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Explicando, cada termo da fração original é representado por um coeficiente , ou . Nosso objetivo é encontrar esses coeficientes para que a igualdade seja verdadeira para todos os valores de .

Passo 6

Vamos expandir e comparar os coeficientes:
Expanda :
Expanda :
Expanda :
Agora, somamos tudo:

Passo 7

Agrupamos os termos similares:
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de :
Para :
Para :
Para o termo constante:

Passo 8

Resolvemos o sistema de equações:
Primeiro, da terceira equação:
Substituímos na primeira equação:
E na segunda equação:
Agora, temos:
Resolvendo a primeira equação para :
Substituímos em a segunda equação:
E então:

Passo 9

Agora que encontramos , e , podemos reescrever a fração original:
Simplificando:

Passo 10

Agora, podemos integrar termo a termo:
Aplicando a integral de , que é , temos:
Simplificando os coeficientes:

Resposta

A primitiva da função é:

Exercícios relacionados

Inverta a ordem de integração. ;
Encontre a derivada da função.
Calcule as derivadas das funções abaixo:
g)
Calcule a área das regiões do plano delimitadas pelas curvas indicadas em cada caso:
e. .