Calcule as primitivas abaixo:
c. integral z^2-2 z-12 z+3 z^2-2 z^3 d z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral . Esse problema está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente no estudo de integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar integrais de quocientes de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o denominador para facilitar o trabalho. O denominador é -2 z^3 + 3 z^2 + 2 z . Vamos reescrever em ordem decrescente dos graus dos termos:
- z (2 z^2 - 3 z - 2)
Para facilitar os cálculos, podemos fatorar um do denominador:

Passo 3

Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático 2 z^2 - 3 z - 2 = (2 z + 1)(z - 2) . Procuramos dois números que multiplicados dão - z (2 z + 1)(z - 2) e somados dão . Esses números são e . Então, fatoramos assim:
Portanto, o denominador totalmente fatorado fica:

Passo 4

Agora que temos a fração -(z^2 - 2 z - 1)z (2 z + 1)(z - 2) = -z^2 + 2 z + 1z (2 z + 1)(z - 2) , podemos simplificar os sinais:
-z^2 + 2 z + 1z (2 z + 1)(z - 2) = Az + B2 z + 1 + Cz - 2
Para facilitar, vamos expressar a fração como:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar os valores de - z^2 + 2 z + 1 = A (2 z + 1)(z - 2) + B z (z - 2) + C z (2 z + 1) , e . Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Explicando, cada termo da fração original é representado por um coeficiente , ou . Nosso objetivo é encontrar esses coeficientes para que a igualdade seja verdadeira para todos os valores de .

Passo 6

Vamos expandir e comparar os coeficientes:
Expanda A (2 z^2 - 4 z + z - 2) = A (2 z^2 - 3 z - 2) :
B (z^2 - 2 z)
Expanda C (2 z^2 + z) :
- z^2 + 2 z + 1 = A (2 z^2 - 3 z - 2) + B (z^2 - 2 z) + C (2 z^2 + z)
Expanda :
Agora, somamos tudo:

Passo 7

Agrupamos os termos similares:
- z^2 + 2 z + 1 = (2 A + B + 2 C) z^2 + (-3 A - 2 B + C) z - 2 A
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de 2 A + B + 2 C = -1 :
Para -3 A - 2 B + C = 2 :
-2 A = 1
Para :
Para o termo constante:

Passo 8

Resolvemos o sistema de equações:
Primeiro, da terceira equação:
-2 A = 1 implies A = -12
Substituímos 2 (-12) + B + 2 C = -1 implies -1 + B + 2 C = -1 implies B + 2 C = 0 na primeira equação:
-3 (-12) - 2 B + C = 2 implies 32 - 2 B + C = 2 implies -2 B + C = 12
E na segunda equação:
B + 2 C = 0 -2 B + C = 12
Agora, temos:
B = -2 C
Resolvendo a primeira equação para -2 (-2 C) + C = 12 implies 4 C + C = 12 implies 5 C = 12 implies C = 110 :
B = -2 times 110 = -15
Substituímos em a segunda equação:
E então:

Passo 9

Agora que encontramos -z^2 + 2 z + 1z (2 z + 1)(z - 2) = -12z + -152 z + 1 + 110z - 2 , -12 z - 15 (2 z + 1) + 110 (z - 2) e , podemos reescrever a fração original:
Simplificando:

Passo 10

Agora, podemos integrar termo a termo:
integral ( -12 z - 15 (2 z + 1) + 110 (z - 2) ) dz
Aplicando a integral de - 12 ln|z| - 15 cdot 12 ln|2 z + 1| + 110 ln|z - 2| + C , que é - 12 ln|z| - 110 ln|2 z + 1| + 110 ln|z - 2| + C , temos:
Simplificando os coeficientes:

Resposta

A primitiva da função é:
-12 ln|z| - 110 ln|2 z + 1| + 110 ln|z - 2| + C

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