Calcule a área das regiões do plano delimitadas pelas curvas indicadas em cada caso:
d.
.
d.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a área das regiões no plano que são delimitadas pelas curvas
,
,
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais definidas para encontrar áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as curvas que estamos lidando:
-
: Essa é uma parábola que abre para a direita, deslocada 2 unidades para a esquerda no eixo . -
: Essa é a função logaritmo natural, que está definida para e aumenta lentamente conforme aumenta. -
e : Essas são linhas horizontais que vão limitar nossa região no eixo .
Passo 3
Para encontrar a área delimitada por essas curvas, precisamos expressar
em função de
para cada uma delas:
- A parábola já está na forma
. - Para o logaritmo, podemos rearranjar
para obter .
Agora, nossa área estará entre
e
, e para cada valor de
nesse intervalo,
varia de
até
.
Passo 4
A fórmula para calcular a área
entre duas curvas
e
, de
a
, é:
No nosso caso,
e
, com
e
.
Passo 5
Vamos montar a integral para a área:
Simplificando dentro do integral:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
- Integral de
em relação a é . - Integral de
em relação a é . - Integral de
em relação a é .
Então, a integral se torna:
Passo 7
Vamos calcular os valores nos limites
e
:
Para
:
Para
:
Passo 8
Subtraindo o valor em
do valor em
:
Simplificando:
Resposta
A área das regiões delimitadas pelas curvas é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada das seguintes funções:
c)
c)
Calcule a derivada das seguintes funções:
a)
a)
Verifique a aproximação linear dada em
. A seguir, determine os valores de
para os quais a aproximação linear tem precisão de 0,1 .
Verifique a aproximação linear dada em
. A seguir, determine os valores de
para os quais a aproximação linear tem precisão de 0,1 .