Calcule a área das regiões do plano delimitadas pelas curvas indicadas em cada caso:
d. .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a área das regiões no plano que são delimitadas pelas curvas , , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais definidas para encontrar áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as curvas que estamos lidando:
  1. : Essa é uma parábola que abre para a direita, deslocada 2 unidades para a esquerda no eixo .
  2. : Essa é a função logaritmo natural, que está definida para e aumenta lentamente conforme aumenta.
  3. e : Essas são linhas horizontais que vão limitar nossa região no eixo .

Passo 3

Para encontrar a área delimitada por essas curvas, precisamos expressar em função de para cada uma delas:
  • A parábola já está na forma .
  • Para o logaritmo, podemos rearranjar para obter .
Agora, nossa área estará entre e , e para cada valor de nesse intervalo, varia de até .

Passo 4

A fórmula para calcular a área entre duas curvas e , de a , é:
No nosso caso, e , com e .

Passo 5

Vamos montar a integral para a área:
Simplificando dentro do integral:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
  1. Integral de em relação a é .
  2. Integral de em relação a é .
  3. Integral de em relação a é .
Então, a integral se torna:

Passo 7

Vamos calcular os valores nos limites e :
Para :
Para :

Passo 8

Subtraindo o valor em do valor em :
Simplificando:

Resposta

A área das regiões delimitadas pelas curvas é unidades quadradas.

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