Verifique a aproximação linear dada em
. A seguir, determine os valores de
para os quais a aproximação linear tem precisão de 0,1 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o enunciado pede para verificar a aproximação linear da função
no ponto
e depois encontrar os valores de
para os quais essa aproximação tem uma precisão de 0,1.
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre aproximação linear e erro de aproximação. A aproximação linear usa a reta tangente à função em um ponto para estimar valores próximos a esse ponto.
Passo 2
Vamos começar verificando a aproximação linear de
no ponto
.
A fórmula da aproximação linear
de uma função
no ponto
é:
Passo 3
Primeiro, calculamos
onde
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada
:
Então, avaliando em
:
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula da aproximação linear:
Portanto, a aproximação linear está confirmada como
.
Passo 6
Agora, vamos determinar para quais valores de
a aproximação linear
tem uma precisão de 0,1. Isso significa que a diferença entre
e
deve ser menor ou igual a 0,1:
Substituindo
e
:
Passo 7
Para resolver essa desigualdade, vamos simplificar a expressão:
Essa expressão pode ser complicada para resolver algebricamente, então vamos considerar usar uma estimativa do erro na aproximação linear.
Passo 8
O erro da aproximação linear é dado pelo termo
, onde
está entre
e
.
Primeiro, calculamos a segunda derivada
:
Como estamos aproximando em
, podemos usar uma estimativa para
. Vamos considerar que
para pequenos valores de
.
Passo 9
Então, o erro
fica:
Queremos que esse erro seja menor ou igual a 0,1:
Resposta
A aproximação linear
tem precisão de 0,1 para valores de
no intervalo
.
Exercícios relacionados
Verifique a aproximação linear dada em
. A seguir, determine os valores de
para os quais a aproximação linear tem precisão de 0,1 .
Calcule a área das regiões do plano delimitadas pelas curvas indicadas em cada caso:
d. .
d.
Verifique a aproximação linear dada em
. A seguir, determine os valores de
para os quais a aproximação linear tem precisão de 0,1 .
Verifique a aproximação linear dada em
. A seguir, determine os valores de
para os quais a aproximação linear tem precisão de 0,1 .