Verifique a aproximação linear dada em . A seguir, determine os valores de para os quais a aproximação linear tem precisão de 0,1 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o enunciado pede para verificar a aproximação linear da função no ponto e depois encontrar os valores de para os quais essa aproximação tem uma precisão de 0,1.
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre aproximação linear e erro de aproximação. A aproximação linear usa a reta tangente à função em um ponto para estimar valores próximos a esse ponto.

Passo 2

Vamos começar verificando a aproximação linear de no ponto .
A fórmula da aproximação linear de uma função no ponto é:

Passo 3

Primeiro, calculamos onde :

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada :
Então, avaliando em :

Passo 5

Substituindo e na fórmula da aproximação linear:
Portanto, a aproximação linear está confirmada como .

Passo 6

Agora, vamos determinar para quais valores de a aproximação linear tem uma precisão de 0,1. Isso significa que a diferença entre e deve ser menor ou igual a 0,1:
Substituindo e :

Passo 7

Para resolver essa desigualdade, vamos simplificar a expressão:
Essa expressão pode ser complicada para resolver algebricamente, então vamos considerar usar uma estimativa do erro na aproximação linear.

Passo 8

O erro da aproximação linear é dado pelo termo , onde está entre e .
Primeiro, calculamos a segunda derivada :
Como estamos aproximando em , podemos usar uma estimativa para . Vamos considerar que para pequenos valores de .

Passo 9

Então, o erro fica:
Queremos que esse erro seja menor ou igual a 0,1:

Resposta

A aproximação linear tem precisão de 0,1 para valores de no intervalo .

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Verifique a aproximação linear dada em . A seguir, determine os valores de para os quais a aproximação linear tem precisão de 0,1 .
Calcule a área das regiões do plano delimitadas pelas curvas indicadas em cada caso:
d. .
Verifique a aproximação linear dada em . A seguir, determine os valores de para os quais a aproximação linear tem precisão de 0,1 .
Verifique a aproximação linear dada em . A seguir, determine os valores de para os quais a aproximação linear tem precisão de 0,1 .