Verifique a aproximação linear dada em
. A seguir, determine os valores de
para os quais a aproximação linear tem precisão de 0,1 .
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos que verificar a aproximação linear de
em
, que é
. Depois, precisamos encontrar os valores de
para os quais essa aproximação tem uma precisão de 0,1.
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com aproximação linear (também conhecida como linearização) e utilizar derivadas para encontrar essa aproximação. Além disso, vamos analisar o erro dessa aproximação para determinar os valores de
que garantem a precisão desejada.
Passo 2
Encontrando a aproximação linear de
em
:
A aproximação linear de uma função
em um ponto
é dada pela fórmula:
Vamos aplicar isso para
e
.
-
Calculando
: -
Calculando
:
A derivada deé: -
Calculando
: -
Escrevendo a aproximação linear
:
Então, a aproximação linear de
em
é realmente
, conforme o enunciado.
Passo 3
Determinar os valores de
para os quais a aproximação linear tem precisão de 0,1:
Queremos encontrar os valores de
que satisfazem:
Isso significa que a diferença entre a função real
e sua aproximação linear
deve ser no máximo 0,1.
Vamos analisar essa desigualdade:
-
Entendendo o erro:
- Para
próximo de 0, a aproximação é boa porque se comporta como . - À medida que
aumenta, a diferença entre e também aumenta.
- Para
-
Resolvendo a desigualdade:
Vamos procurar o valor deonde a diferença atinge exatamente 0,1. Ou seja, queremos resolver:Isso pode ser feito numericamente ou aproximando:-
Para
: -
Para
:
Observamos que o erro ultrapassa 0,1 quandoé maior que aproximadamente 0,7. -
-
Conclusão:
A aproximação lineartem precisão de 0,1 para valores de tais que:
Resposta
A aproximação linear
tem precisão de 0,1 para todos os valores de
que satisfazem
.
Exercícios relacionados
Calcule a área das regiões do plano delimitadas pelas curvas indicadas em cada caso:
d. .
d.
Calcule a derivada das seguintes funções:
c)
c)
Verifique a aproximação linear dada em
. A seguir, determine os valores de
para os quais a aproximação linear tem precisão de 0,1 .
Verifique a aproximação linear dada em
. A seguir, determine os valores de
para os quais a aproximação linear tem precisão de 0,1 .