Verifique a aproximação linear dada em . A seguir, determine os valores de para os quais a aproximação linear tem precisão de 0,1 .

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos que verificar a aproximação linear de em , que é . Depois, precisamos encontrar os valores de para os quais essa aproximação tem uma precisão de 0,1.
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com aproximação linear (também conhecida como linearização) e utilizar derivadas para encontrar essa aproximação. Além disso, vamos analisar o erro dessa aproximação para determinar os valores de que garantem a precisão desejada.

Passo 2

Encontrando a aproximação linear de em :
A aproximação linear de uma função em um ponto é dada pela fórmula:
Vamos aplicar isso para e .
  1. Calculando :
  2. Calculando :
    A derivada de é:
  3. Calculando :
  4. Escrevendo a aproximação linear :
Então, a aproximação linear de em é realmente , conforme o enunciado.

Passo 3

Determinar os valores de para os quais a aproximação linear tem precisão de 0,1:
Queremos encontrar os valores de que satisfazem:
Isso significa que a diferença entre a função real e sua aproximação linear deve ser no máximo 0,1.
Vamos analisar essa desigualdade:
  1. Entendendo o erro:
    • Para próximo de 0, a aproximação é boa porque se comporta como .
    • À medida que aumenta, a diferença entre e também aumenta.
  2. Resolvendo a desigualdade:
    Vamos procurar o valor de onde a diferença atinge exatamente 0,1.
    Ou seja, queremos resolver:
    Isso pode ser feito numericamente ou aproximando:
    • Para :
    • Para :
      ã
    Observamos que o erro ultrapassa 0,1 quando é maior que aproximadamente 0,7.
  3. Conclusão:
    A aproximação linear tem precisão de 0,1 para valores de tais que:

Resposta

A aproximação linear tem precisão de 0,1 para todos os valores de que satisfazem .

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Calcule a área das regiões do plano delimitadas pelas curvas indicadas em cada caso:
d. .
Calcule a derivada das seguintes funções:
c)
Verifique a aproximação linear dada em . A seguir, determine os valores de para os quais a aproximação linear tem precisão de 0,1 .
Verifique a aproximação linear dada em . A seguir, determine os valores de para os quais a aproximação linear tem precisão de 0,1 .