Calcule a derivada das seguintes funções: F(x)=sin x+integral-pi^x cos t d t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo diferencial e integral. Vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e como lidar com derivadas de integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função . A derivada de é algo que você provavelmente já conhece: . Isso porque a derivada da função seno é o cosseno.

Passo 3

Agora, vamos focar na segunda parte da função, que é a integral definida . Para derivar uma integral com limite superior variável, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1. Esse teorema nos diz que se temos , então a derivada de em relação a é simplesmente .

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso, temos . Então, a derivada de em relação a é .

Passo 5

Agora, juntando as duas partes que derivamos: a derivada de F'(x) = cos x + cos x = 2cos x é e a derivada da integral é também . Somando essas duas derivadas, temos:

Resposta

A derivada da função é .

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