Calcule a derivada das seguintes funções:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função
. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo diferencial e integral. Vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e como lidar com derivadas de integrais definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função
. A derivada de
é algo que você provavelmente já conhece:
. Isso porque a derivada da função seno é o cosseno.
Passo 3
Agora, vamos focar na segunda parte da função, que é a integral definida
. Para derivar uma integral com limite superior variável, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1. Esse teorema nos diz que se temos
, então a derivada de
em relação a
é simplesmente
.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso, temos
. Então, a derivada de
em relação a
é
.
Passo 5
Agora, juntando as duas partes que derivamos: a derivada de
é
e a derivada da integral é também
. Somando essas duas derivadas, temos:
Resposta
A derivada da função
é
.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada das seguintes funções:
Quais das seguintes afirmações é verdadeira? Justifique. Se
é uma primitiva de
em
, então
.
Calcule a área das regiões
dadas.
Calcule a área das regiões
dadas.