Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a área da região definida por . Esse exercício é sobre cálculo de áreas usando integrais, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções em duas variáveis e definir os limites de integração corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . Ela está limitada entre e no eixo , e entre e no eixo . Isso significa que para cada valor de entre 0 e 1, o valor de vai de 0 até .
Passo 3
Para encontrar a área dessa região, vamos usar a integral dupla. A fórmula geral para a área é:
Nesse caso, , , e . Então, nossa integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a . Integrar de 0 até significa achar a área em uma fatia vertical da região para um dado .
Então, agora nossa integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a . A integral de é , onde é uma constante. Aqui, , então:
Onde é a constante de integração, que podemos ignorar porque estamos calculando uma área definida.