Calcule a área das regiões R dadas. R = {(x, y) em R^2: 0 <= x <= 1, 0 <= y <= e^(2 x)}

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a área da região definida por . Esse exercício é sobre cálculo de áreas usando integrais, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções em duas variáveis e definir os limites de integração corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Ela está limitada entre e no eixo , e entre e no eixo . Isso significa que para cada valor de entre 0 e 1, o valor de vai de 0 até .

Passo 3

Para encontrar a área dessa região, vamos usar a integral dupla. A fórmula geral para a área é:
Nesse caso, , , e . Então, nossa integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a . Integrar de 0 até significa achar a área em uma fatia vertical da região para um dado .
Então, agora nossa integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a . A integral de é , onde é uma constante. Aqui, , então:
Onde é a constante de integração, que podemos ignorar porque estamos calculando uma área definida.

Passo 6

Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
Sabemos que , então simplificando:

Resposta

A área da região é .

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