Calcule a derivada das seguintes funções: F(x)=1x integral0^x e^t^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função . Aqui estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente usando regras de derivação e o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos precisar aplicar a regra do quociente e entender como derivar uma integral que depende de .

Passo 2

Primeiro, identifiquemos a função que queremos derivar:
F(x) = 1x integral0^x e^t^2 , dt
Aqui, temos um quociente onde o numerador é a integral de de 0 a , e o denominador é .

Passo 3

Vamos aplicar a regra do quociente para derivar ( uv )' = u'v - uv'v^2 . A regra do quociente diz que:
Onde e .

Passo 4

Vamos encontrar u' = e^x^2 e v' = 1 :
  • Para , usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que se , então . Então:
  • Para , a derivada é:

Passo 5

Agora, aplicando a regra do quociente:
F'(x) = u'v - uv'v^2 = e^x^2 cdot x - ( integral0^x e^t^2 , dt ) cdot 1x^2
Simplificando, temos:
F'(x) = x e^x^2 - integral0^x e^t^2 , dtx^2

Resposta

A derivada de F'(x) = x e^x^2 - integral0^x e^t^2 , dtx^2 é:

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