Calcule a área das regiões
dadas.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma região
no plano cartesiano definida por:
Nossa missão é calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, que nos ajudam a encontrar áreas de regiões delimitadas por funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. O valor de
varia de
a
. Para cada valor de
nesse intervalo, o valor de
varia de
até
. Isso significa que a região
está abaixo do eixo
e limitada pela curva
.
Passo 3
Para encontrar a área, vamos configurar uma integral dupla onde integramos
de
até
e
de
a
. A fórmula para a área
fica assim:
A integração interna em relação a
nos dará a largura vertical da região para cada
.
Passo 4
Vamos calcular a integral interna primeiro:
Então, a área
agora é:
Passo 5
Agora, calculamos a integral de
de
a
:
Resposta
A área das regiões
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule a área das regiões
dadas.
Calcule a derivada das seguintes funções:
Exercício 1: (1)
, (2)
,
(3)
,
Exercício 4: (1)
(2)
(3)
(4)