Calcule a derivada das seguintes funções: F(x)=integralx^2 x ln ^2 t d t

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com derivadas de funções definidas por integrais, usando a regra de diferenciação sob o sinal de integral, conhecida como Fórmula de Leibniz.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites da integração que dependem de . Nesse caso, o limite inferior é e o limite superior é .

Passo 3

A Fórmula de Leibniz nos diz que a derivada de F'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x) é dada por:
onde .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas dos limites:
b'(x) = ddx (2x) = 2
a'(x) = ddx (x) = 1

Passo 5

Substituindo na fórmula de Leibniz:
F'(x) = ln^2(2x) cdot 2 - ln^2(x) cdot 1

Resposta

Portanto, a derivada de F'(x) = 2 ln^2(2x) - ln^2(x) é:

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