Exercício 4: (1) e^(x^2) (2) 2 cos(2 x) ^ 2 (3) -sen^2(x) (4) 2 ln(2x)^2 - ln(x)^2

Passo 1

Fala aí! Então, o que temos aqui são quatro funções diferentes e, pelo que parece, a gente precisa descobrir como diferenciá-las. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente de derivadas. Para resolver isso, vamos precisar usar regras de derivação como a regra da cadeia, a regra do produto e as derivadas básicas das funções exponenciais, trigonométricas e logarítmicas.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função: .
Para derivar essa função, usamos a regra da cadeia, que serve quando temos uma função dentro de outra função. A derivada de , onde é uma função de , é .
Aplicando isso:
Então, a derivada é:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda função: .
Aqui, também usamos a regra da cadeia, além de conhecer a derivada da função cosseno. A derivada de é .
Primeiro, reconhecemos que pode ser visto como . Então, aplicando a regra da cadeia:
Agora, a derivada de é :
Multiplicando pelo 2 que está na frente:

Passo 4

Vamos para a terceira função: .
Mais uma vez, usamos a regra da cadeia. A derivada de é .
Escrevendo como :
Então, a derivada de é :
Como há um sinal negativo:

Passo 5

Por último, a quarta função: .
Vamos derivar cada termo separadamente usando a regra da cadeia. A derivada de é .
Primeiro, para :
  • A derivada de é
Multiplicando pelo 2:
Agora, para :
  • A derivada de é
Então, a derivada de é:
Juntando os dois termos:

Resposta

As derivadas das funções são:

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