Calcule
a) sendo a elipse , percorrida no sentido antihorário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é uma elipse definida por e percorrida no sentido antihorário. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais de área. Vamos precisar entender esse teorema e aplicar uma mudança de coordenadas para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na integral de linha. A integral está na forma , onde:

Passo 3

Segundo o Teorema de Green, podemos transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a área encerrada pela curva :
Vamos calcular as derivadas parciais:
Então:

Passo 4

Agora, a integral dupla fica:
Para facilitar o cálculo, vamos fazer uma mudança de coordenadas que transforma a elipse em um círculo unitário. Podemos definir:
Com essa mudança, a elipse passa a ser .

Passo 5

Precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a área:
Além disso, a expressão na nova coordenada fica:
Então, a integral dupla se transforma em:

Passo 6

Observamos que a função é ímpar em relação a e , e estamos integrando sobre um círculo simétrico em relação à origem. Portanto, a integral de sobre esse domínio é zero:
Multiplicando isso pelos constantes, temos que toda a expressão da integral é zero.

Resposta

A integral vale 0.

Exercícios relacionados

Calcule , onde
para
b) cuja imagem é a circunferência
Calcule a área das regiões :
b) é a região delimitada pela curva , com , onde são as coordenadas polares no plano.
Seja o vetor unitário normal à curva fechada simples diferenciável cada ponto, orientada para a região exterior à curva e seja a região interior a , ou seja .
b) Mostre que se é um campo vetorial de classe , definido em e seu interior, então:
que é um resultado conhecido como teorema da divergência.
Resolva os edos seguintes (4 ponto):