Calcule
a) integralgamma x y(3 y d x+7 x d y), gamma sendo a elipse 10 x^2+17 y^2=29, percorrida no sentido antihorário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é uma elipse definida por e percorrida no sentido antihorário. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais de área. Vamos precisar entender esse teorema e aplicar uma mudança de coordenadas para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na integral de linha. A integral está na forma , onde:

Passo 3

Segundo o Teorema de Green, podemos transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a área encerrada pela curva ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA :
partial Qpartial x = partialpartial x (7 x^2 y) = 14 x y
Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Ppartial y = partialpartial y (3 x y^2) = 6 x y
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 14 x y - 6 x y = 8 x y
Então:

Passo 4

Agora, a integral dupla fica:
integral duplaD 8 x y , dA
Para facilitar o cálculo, vamos fazer uma mudança de coordenadas que transforma a elipse x = raiz29raiz10 u e y = raiz29raiz17 v em um círculo unitário. Podemos definir:
Com essa mudança, a elipse passa a ser .

Passo 5

Precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a área:
dA = | partial(x, y)partial(u, v) | du , dv = 29raiz170 , du , dv
Além disso, a expressão x y = ( raiz29raiz10 u ) ( raiz29raiz17 v ) = 29raiz170 u v na nova coordenada fica:
8 cdot 29raiz170 cdot 29raiz170 integral duplau^2 + v^2 <= 1 u v , du , dv
Então, a integral dupla se transforma em:

Passo 6

Observamos que a função integral duplau^2 + v^2 <= 1 u v , du , dv = 0 é ímpar em relação a e , e estamos integrando sobre um círculo simétrico em relação à origem. Portanto, a integral de sobre esse domínio é zero:
Multiplicando isso pelos constantes, temos que toda a expressão da integral é zero.

Resposta

A integral vale 0.

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