Calcule
a) sendo a elipse , percorrida no sentido antihorário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é uma elipse definida por e percorrida no sentido antihorário. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais de área. Vamos precisar entender esse teorema e aplicar uma mudança de coordenadas para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções e na integral de linha. A integral está na forma , onde:
Passo 3
Segundo o Teorema de Green, podemos transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a área encerrada pela curva :
Vamos calcular as derivadas parciais:
Então:
Passo 4
Agora, a integral dupla fica:
Para facilitar o cálculo, vamos fazer uma mudança de coordenadas que transforma a elipse em um círculo unitário. Podemos definir:
Com essa mudança, a elipse passa a ser .
Passo 5
Precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a área:
Além disso, a expressão na nova coordenada fica:
Então, a integral dupla se transforma em:
Passo 6
Observamos que a função é ímpar em relação a e , e estamos integrando sobre um círculo simétrico em relação à origem. Portanto, a integral de sobre esse domínio é zero:
Multiplicando isso pelos constantes, temos que toda a expressão da integral é zero.