Calcule a área sob a curva parametrizada por
de
a
.
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a área sob a curva que é parametrizada por
e
, onde
varia de 0 a 1. Vamos usar cálculo integral para resolver isso, especificamente a fórmula para área sob uma curva parametrizada.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que para encontrar a área sob uma curva parametrizada, usamos a fórmula:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Dado que
, a derivada é:
Essa derivada nos diz a taxa de variação de
em relação a
.
Passo 4
Agora, substituímos
e
na fórmula da área:
Simplificamos a expressão dentro da integral multiplicando as potências de
.
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Calculamos a antiderivada de
, avaliamos de 0 a 1 e simplificamos.
Resposta
A área sob a curva é
.
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.
Decidir se a curva
é concava ou convexa em
e
.
Para a curva parametrizada por
, encontre todos os pontos onde a curva cruza o eixo
e o eixo
.
Encontre os pontos de interseção das curvas
e
,
.