Encontre os pontos de interseção das curvas x(t) = t, y(t) = t^2 e x(t) = t^2, y(t) = t.

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar os pontos onde duas curvas se cruzam. As curvas dadas são paramétricas:
  • Primeira curva: ,
  • Segunda curva: ,
Para resolver isso, vamos precisar igualar as coordenadas e das duas curvas e encontrar os valores de que satisfazem essas igualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos igualar as coordenadas das duas curvas.
Da primeira curva, temos:
Da segunda curva, temos:
Então, igualando as duas expressões para :

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação . Podemos rearranjá-la para:
Fatorando:
Isso nos dá duas soluções para :

Passo 4

Vamos encontrar os pontos de interseção substituindo esses valores de nas equações de e de qualquer uma das curvas (ambas darão o mesmo resultado).
Para :
Ponto:
Para :
Ponto:

Passo 5

Verificamos que ambos os pontos satisfazem as equações de ambas as curvas, confirmando que são pontos de interseção.

Resposta

Os pontos de interseção das curvas são e .

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