Encontre os pontos de interseção das curvas
e
,
.
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar os pontos onde duas curvas se cruzam. As curvas dadas são paramétricas:
- Primeira curva:
, - Segunda curva:
,
Para resolver isso, vamos precisar igualar as coordenadas
e
das duas curvas e encontrar os valores de
que satisfazem essas igualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos igualar as coordenadas
das duas curvas.
Da primeira curva, temos:
Da segunda curva, temos:
Então, igualando as duas expressões para
:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação
. Podemos rearranjá-la para:
Fatorando:
Isso nos dá duas soluções para
:
Passo 4
Vamos encontrar os pontos de interseção substituindo esses valores de
nas equações de
e
de qualquer uma das curvas (ambas darão o mesmo resultado).
Para
:
Ponto:
Para
:
Ponto:
Passo 5
Verificamos que ambos os pontos satisfazem as equações de ambas as curvas, confirmando que são pontos de interseção.
Resposta
Os pontos de interseção das curvas são
e
.
Exercícios relacionados
Para a curva parametrizada por
, encontre todos os pontos onde a curva cruza o eixo
e o eixo
.
Calcule a área sob a curva parametrizada por
de
a
.
Encontre os vetores de velocidade e aceleração para a curva
,
em
.
Encontre os pontos de inflexão na curva
.