Encontrar as equações das tangentes verticais e horizontais da curva parametrizada por .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma curva parametrizada pelas funções e . O objetivo é encontrar as equações das tangentes verticais e horizontais dessa curva. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente como encontrar derivadas de funções parametrizadas.

Passo 2

Para encontrar as tangentes, precisamos calcular a derivada , que nos dá a inclinação da tangente em cada ponto da curva. Usaremos a regra da derivada para funções parametrizadas, que é:
Então, primeiro calculamos e .

Passo 3

Calculando :
E calculando :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da inclinação:
Para tangentes horizontais, a inclinação deve ser zero. Para tangentes verticais, a inclinaç��o é indefinida, ou seja, o denominador .

Passo 5

Tangentes Horizontais:
Isso ocorre quando
Substituindo na parametrização:
Para :
Equação da tangente horizontal:
Para :
Equação da tangente horizontal:
Tangentes Verticais:
Isso ocorre quando
Substituindo na parametrização:
Para :
Equação da tangente vertical:
Para :
Equação da tangente vertical:

Resposta

As equações das tangentes horizontais são e , e as equações das tangentes verticais são e .

Exercícios relacionados

Decidir se a curva é concava ou convexa em e .
Decidir se a curva é concava ou convexa em .
Calcule a área sob a curva parametrizada por de a .
Para a curva parametrizada por , encontre todos os pontos onde a curva cruza o eixo e o eixo .