Encontrar as equações das tangentes verticais e horizontais da curva parametrizada por
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma curva parametrizada pelas funções
e
. O objetivo é encontrar as equações das tangentes verticais e horizontais dessa curva. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente como encontrar derivadas de funções parametrizadas.
Passo 2
Para encontrar as tangentes, precisamos calcular a derivada
, que nos dá a inclinação da tangente em cada ponto da curva. Usaremos a regra da derivada para funções parametrizadas, que é:
Então, primeiro calculamos
e
.
Passo 3
Calculando
:
E calculando
:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da inclinação:
Para tangentes horizontais, a inclinação
deve ser zero. Para tangentes verticais, a inclinaç��o é indefinida, ou seja, o denominador
.
Passo 5
Tangentes Horizontais:
Isso ocorre quando
Substituindo na parametrização:
Para
:
Equação da tangente horizontal:
Para
:
Equação da tangente horizontal:
Tangentes Verticais:
Isso ocorre quando
Substituindo na parametrização:
Para
:
Equação da tangente vertical:
Para
:
Equação da tangente vertical:
Resposta
As equações das tangentes horizontais são
e
, e as equações das tangentes verticais são
e
.
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é concava ou convexa em
e
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a
.
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e o eixo
.