Para a curva parametrizada por x(t) = t^2 - 1, y(t) = t^3 - t, encontre todos os pontos onde a curva cruza o eixo x e o eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar todos os pontos onde a curva definida por e cruza o eixo e o eixo . Isso envolve entender curvas paramétricas e como identificar onde elas interceptam os eixos coordenados. Vamos precisar resolver algumas equações definidas pelas funções e .

Passo 2

Primeiro, para encontrar os pontos onde a curva cruza o eixo , a coordenada deve ser zero. Então, vamos resolver a equação :
Podemos fatorar :
Isso nos dá as soluções e . Resolvendo :
Então, os valores de onde são .
Agora, vamos encontrar os valores correspondentes de para cada :
  • Para :
    Ponto:
  • Para :
    Ponto:
  • Para :
    Ponto:
Notamos que o ponto aparece duas vezes, mas na verdade é o mesmo ponto.

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde a curva cruza o eixo . Para isso, a coordenada deve ser zero. Então, resolvemos :
Agora, encontramos os valores de para cada :
  • Para :
    Ponto:
  • Para :
    Ponto:
Então, o único ponto onde a curva cruza o eixo é .

Resposta

A curva cruza o eixo nos pontos e , e cruza o eixo apenas no ponto .

Exercícios relacionados