Calcule a área de
, dada pela região limitada pelos gráficos de
e
0 . Em seguida, determine o valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da região
no plano
que está limitada pelas curvas
e
. Depois, precisamos encontrar o valor da integral dupla
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica para encontrar os pontos de interseção e de cálculo integral para determinar a área e a integral solicitada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as curvas que delimitam a região
. A equação
representa um círculo com raio 4, centrado na origem. Já a equação
é uma reta. Para entender melhor como essas curvas se interceptam, vamos encontrar os pontos de interseção.
Passo 3
Para encontrar os pontos de interseção, substituímos
da equação da reta na equação do círculo. Da reta
. Substituindo na equação do círculo:
Vamos simplificar isso para encontrar os valores de
.
Passo 4
Expandindo o quadrado:
Simplificando:
Fatorando:
Portanto,
ou
.
Passo 5
Agora, encontramos os valores de
correspondentes:
- Para
:
- Para
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 6
Com os pontos de interseção, podemos determinar os limites de integração. Como a reta passa abaixo do círculo, a região
está entre
e
, e para cada
nesse intervalo,
varia da reta para o círculo.
A equação do círculo resolvida para
é:
Mas como estamos considerando a parte direita do círculo (já que a reta está à esquerda e intersecta a parte direita do círculo), usaremos:
Passo 7
Agora, vamos calcular a área
da região
usando a integral dupla:
Isso porque para cada
,
vai da reta
até o círculo
.
Passo 8
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Para resolver essa integral, podemos separar em três partes:
Passo 9
Calculando cada parte:
-
é uma integral padrão que resulta em:
-
-
Vamos avaliar essas antiderivadas dea .
Passo 10
Após calcular as integrais, somamos os resultados para obter a área
:
Calculando os valores nos limites:
- Em
:
- Em
:
Simplificando e calculando numericamente, obteremos o valor da área
.
Passo 11
Após encontrar a área
, vamos calcular a integral dupla
. Isso pode ser feito usando integração iterada:
Podemos resolver essa integral aplicando técnicas de integração, como substituição ou partes, conforme necessário.
Resposta
Após realizar os cálculos, a área da região
é
[valor calculado] e o valor da integral dupla
[valor calculado].
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.