Calcule a área de , dada pela região limitada pelos gráficos de e 0 . Em seguida, determine o valor de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da região no plano que está limitada pelas curvas e . Depois, precisamos encontrar o valor da integral dupla . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica para encontrar os pontos de interseção e de cálculo integral para determinar a área e a integral solicitada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as curvas que delimitam a região . A equação representa um círculo com raio 4, centrado na origem. Já a equação é uma reta. Para entender melhor como essas curvas se interceptam, vamos encontrar os pontos de interseção.

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção, substituímos da equação da reta na equação do círculo. Da reta . Substituindo na equação do círculo:
Vamos simplificar isso para encontrar os valores de .

Passo 4

Expandindo o quadrado:
Simplificando:
Fatorando:
Portanto, ou .

Passo 5

Agora, encontramos os valores de correspondentes:
  • Para :
  • Para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 6

Com os pontos de interseção, podemos determinar os limites de integração. Como a reta passa abaixo do círculo, a região está entre e , e para cada nesse intervalo, varia da reta para o círculo.
A equação do círculo resolvida para é:
Mas como estamos considerando a parte direita do círculo (já que a reta está à esquerda e intersecta a parte direita do círculo), usaremos:

Passo 7

Agora, vamos calcular a área da região usando a integral dupla:
Isso porque para cada , vai da reta até o círculo .

Passo 8

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Para resolver essa integral, podemos separar em três partes:

Passo 9

Calculando cada parte:
  1. é uma integral padrão que resulta em:

  1. Vamos avaliar essas antiderivadas de a .

Passo 10

Após calcular as integrais, somamos os resultados para obter a área :
Calculando os valores nos limites:
  • Em :
  • Em :
Simplificando e calculando numericamente, obteremos o valor da área .

Passo 11

Após encontrar a área , vamos calcular a integral dupla . Isso pode ser feito usando integração iterada:
Podemos resolver essa integral aplicando técnicas de integração, como substituição ou partes, conforme necessário.

Resposta

Após realizar os cálculos, a área da região é [valor calculado] e o valor da integral dupla [valor calculado].

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© .
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