Desenhe o domínio de integração e mude a ordem de integração em cada caso a seguir.
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente desenhar o domínio de integração da integral dupla e depois mudar a ordem de integração. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais duplas e mudança de ordem de integração. Vamos precisar entender como os limites de integração estão definidos e como isso afeta a região que vamos integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a integral dada:
Aqui, a integração externa é em relação a
, que varia de 0 a 2. Para cada valor de
,
varia de
a
.
Passo 3
Vamos desenhar o domínio de integração no plano
. Para isso, precisamos identificar as fronteiras das integrais.
A região é limitada por:
Além disso,
varia de 0 a 2. Vamos resolver onde essas duas curvas se interceptam.
Passo 4
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Então,
ou
.
Passo 5
Agora sabemos que as curvas se interceptam nos pontos
e
. Mas como
só vai até 2, vamos considerar até
.
Vamos esboçar as curvas:
-
é uma parábola que passa por (0,0) e (2,4). -
é uma reta que passa por (0,0) e (2,4).
Mas como
só vai até 2, ajustamos o ponto de interseção até
:
Portanto, a interseção relevante é de
a
.
Passo 6
Com isso, o domínio de integração é a região entre a parábola
e a reta
, para
entre 0 e 2, e
entre 0 e 2.
Passo 7
Agora, vamos mudar a ordem de integração. Originalmente, temos
externo e
interno. Queremos inverter para
externo e
interno.
Para isso, precisamos expressar
em termos de
.
Da equação
:
Da equação
:
Passo 8
Agora, para cada
entre 0 e 2,
varia de
a
.
Então, a nova integral com a ordem de integração invertida fica:
Resposta
A ordem de integração invertida é:
Exercícios relacionados
Determine, entre os triângulos de mesmo perímetro, o de área máxima.
(a) Sem utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.
(a) Sem utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Maximize
restritos a
e
.
Calcule a área de
, dada pela região limitada pelos gráficos de
e
0 . Em seguida, determine o valor de
.
Determine os pontos críticos de cada uma das funções representadas pelas leis de formação dadas em cada item e classifique-os.
© .
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