Desenhe o domínio de integração e mude a ordem de integração em cada caso a seguir.
(a) integral0^2 integralx^2^2 x f(x, y) d x d y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente desenhar o domínio de integração da integral dupla e depois mudar a ordem de integração. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais duplas e mudança de ordem de integração. Vamos precisar entender como os limites de integração estão definidos e como isso afeta a região que vamos integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a integral dada:
integral0^2 integralx^2^2x f(x, y) , dx , dy
Aqui, a integração externa é em relação a , que varia de 0 a 2. Para cada valor de , varia de a .

Passo 3

Vamos desenhar o domínio de integração no plano y = x^2 e y = 2x . Para isso, precisamos identificar as fronteiras das integrais.
A região é limitada por:
Além disso, varia de 0 a 2. Vamos resolver onde essas duas curvas se interceptam.

Passo 4

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
x^2 = 2x x^2 - 2x = 0 x(x - 2) = 0
Então, ou .

Passo 5

Agora sabemos que as curvas se interceptam nos pontos 2x = x^2 x^2 - 2x = 0 x = 0 ou x = 2 e . Mas como só vai até 2, vamos considerar até .
Vamos esboçar as curvas:
  • é uma parábola que passa por (0,0) e (2,4).
  • é uma reta que passa por (0,0) e (2,4).
Mas como só vai até 2, ajustamos o ponto de interseção até :
Portanto, a interseção relevante é de a .

Passo 6

Com isso, o domínio de integração é a região entre a parábola e a reta , para entre 0 e 2, e entre 0 e 2.

Passo 7

Agora, vamos mudar a ordem de integração. Originalmente, temos x = raizy externo e x = y2 interno. Queremos inverter para externo e interno.
Para isso, precisamos expressar em termos de .
Da equação :
Da equação :

Passo 8

Agora, para cada integral0^2 integraly2^raizy f(x, y) , dx , dy entre 0 e 2, varia de a .
Então, a nova integral com a ordem de integração invertida fica:

Resposta

A ordem de integração invertida é:
integral0^2 integraly2^raizy f(x, y) , dx , dy

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