Desenhe o domínio de integração e mude a ordem de integração em cada caso a seguir.
(a) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente desenhar o domínio de integração da integral dupla e depois mudar a ordem de integração. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais duplas e mudança de ordem de integração. Vamos precisar entender como os limites de integração estão definidos e como isso afeta a região que vamos integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a integral dada:
Aqui, a integração externa é em relação a , que varia de 0 a 2. Para cada valor de , varia de a .

Passo 3

Vamos desenhar o domínio de integração no plano . Para isso, precisamos identificar as fronteiras das integrais.
A região é limitada por:
Além disso, varia de 0 a 2. Vamos resolver onde essas duas curvas se interceptam.

Passo 4

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Então, ou .

Passo 5

Agora sabemos que as curvas se interceptam nos pontos e . Mas como só vai até 2, vamos considerar até .
Vamos esboçar as curvas:
  • é uma parábola que passa por (0,0) e (2,4).
  • é uma reta que passa por (0,0) e (2,4).
Mas como só vai até 2, ajustamos o ponto de interseção até :
Portanto, a interseção relevante é de a .

Passo 6

Com isso, o domínio de integração é a região entre a parábola e a reta , para entre 0 e 2, e entre 0 e 2.

Passo 7

Agora, vamos mudar a ordem de integração. Originalmente, temos externo e interno. Queremos inverter para externo e interno.
Para isso, precisamos expressar em termos de .
Da equação :
Da equação :

Passo 8

Agora, para cada entre 0 e 2, varia de a .
Então, a nova integral com a ordem de integração invertida fica:

Resposta

A ordem de integração invertida é:

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