Determine os pontos críticos de cada uma das funções representadas pelas leis de formação dadas em cada item e classifique-os.
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Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função e classificar cada um deles. Para isso, vamos usar o que aprendemos sobre derivadas parciais e análise de pontos críticos em funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e a . Isso nos ajuda a identificar onde a inclinação da função é zero, ou seja, onde estão os pontos críticos.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, a gente iguala essas derivadas a zero e resolve o sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver cada equação:
  1. , onde é um número inteiro.
  2. , onde é um número inteiro.
Então, os pontos críticos estão na forma .

Passo 5

Agora, vamos classificar esses pontos críticos. Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve calcular o discriminante :
Vamos calcular as segundas derivadas:
Então, o discriminante fica:

Passo 6

Vamos analisar o discriminante:
  • Se e : ponto de máximo local.
  • Se e : ponto de mínimo local.
  • Se : ponto de sela.
  • Se : teste inconclusivo.
Como nossos pontos críticos são , vamos avaliar e :
Então, ou . Ou seja, para todos os pontos críticos.

Resposta

Todos os pontos críticos da função são da forma , onde e são números inteiros. Cada um desses pontos é um ponto de sela.

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