Determine os pontos críticos de cada uma das funções representadas pelas leis de formação dadas em cada item e classifique-os.
©
.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função
e classificar cada um deles. Para isso, vamos usar o que aprendemos sobre derivadas parciais e análise de pontos críticos em funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e a
. Isso nos ajuda a identificar onde a inclinação da função é zero, ou seja, onde estão os pontos críticos.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, a gente iguala essas derivadas a zero e resolve o sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver cada equação:
-
, onde é um número inteiro. -
, onde é um número inteiro.
Então, os pontos críticos estão na forma
.
Passo 5
Agora, vamos classificar esses pontos críticos. Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve calcular o discriminante
:
Vamos calcular as segundas derivadas:
Então, o discriminante fica:
Passo 6
Vamos analisar o discriminante:
- Se
e : ponto de máximo local. - Se
e : ponto de mínimo local. - Se
: ponto de sela. - Se
: teste inconclusivo.
Como nossos pontos críticos são
, vamos avaliar
e
:
Então,
ou
. Ou seja,
para todos os pontos críticos.
Resposta
Todos os pontos críticos da função
são da forma
, onde
e
são números inteiros. Cada um desses pontos é um ponto de sela.
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, dada pela região limitada pelos gráficos de
e
0 . Em seguida, determine o valor de
.
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(a) .
(a)
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mais próximos de
.
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(b) Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange.
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