Determine, entre os triângulos de mesmo perímetro, o de área máxima.
(a) Sem utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.
(a) Sem utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir qual tipo de triângulo, entre aqueles que têm o mesmo perímetro, possui a maior área. Vamos precisar usar conceitos de geometria básica e, provavelmente, a fórmula de Herão para calcular a área dos triângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é perímetro. O perímetro de um triângulo é a soma dos comprimentos dos seus três lados. Então, se todos os triângulos que estamos considerando têm o mesmo perímetro, digamos
, temos:
onde
,
, e
são os lados do triângulo.
Passo 3
Agora, para encontrar a área dos triângulos, vamos usar a fórmula de Herão, que é bem legal porque funciona para qualquer triângulo. A fórmula é:
onde
é o semiperímetro, ou seja:
Passo 4
Nosso objetivo é maximizar a área. Observando a fórmula de Herão, percebemos que a área depende muito de como os lados
,
, e
se distribuem em relação ao semiperímetro
. Intuitivamente, quanto mais iguais forem os lados, maior será a área. Isso porque a expressão
atinge seu máximo quando
.
Passo 5
Para confirmar isso, vamos pensar no caso de um triângulo equilátero, onde todos os lados são iguais. Se
, então:
e substituindo na fórmula de Herão:
Isso mostra que a área é maximizada quando todos os lados são iguais, ou seja, quando o triângulo é equilátero.
Resposta
O triângulo de maior área, entre aqueles com o mesmo perímetro, é o triângulo equilátero, onde todos os lados têm o mesmo comprimento.
Exercícios relacionados
Maximize
restritos a
e
.
Determine o valor máximo da soma dos cossenos dos ângulos de um triângulo.
Desenhe o domínio de integração e mude a ordem de integração em cada caso a seguir.
(a) .
(a)
Calcule a área de
, dada pela região limitada pelos gráficos de
e
0 . Em seguida, determine o valor de
.