Determine, entre os triângulos de mesmo perímetro, o de área máxima.
(a) Sem utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir qual tipo de triângulo, entre aqueles que têm o mesmo perímetro, possui a maior área. Vamos precisar usar conceitos de geometria básica e, provavelmente, a fórmula de Herão para calcular a área dos triângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é perímetro. O perímetro de um triângulo é a soma dos comprimentos dos seus três lados. Então, se todos os triângulos que estamos considerando têm o mesmo perímetro, digamos , temos:
onde , , e são os lados do triângulo.

Passo 3

Agora, para encontrar a área dos triângulos, vamos usar a fórmula de Herão, que é bem legal porque funciona para qualquer triângulo. A fórmula é:
Á
onde é o semiperímetro, ou seja:

Passo 4

Nosso objetivo é maximizar a área. Observando a fórmula de Herão, percebemos que a área depende muito de como os lados , , e se distribuem em relação ao semiperímetro . Intuitivamente, quanto mais iguais forem os lados, maior será a área. Isso porque a expressão atinge seu máximo quando .

Passo 5

Para confirmar isso, vamos pensar no caso de um triângulo equilátero, onde todos os lados são iguais. Se , então:
e substituindo na fórmula de Herão:
Á
Isso mostra que a área é maximizada quando todos os lados são iguais, ou seja, quando o triângulo é equilátero.

Resposta

O triângulo de maior área, entre aqueles com o mesmo perímetro, é o triângulo equilátero, onde todos os lados têm o mesmo comprimento.

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Maximize restritos a e .
Determine o valor máximo da soma dos cossenos dos ângulos de um triângulo.
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(a) .
Calcule a área de , dada pela região limitada pelos gráficos de e 0 . Em seguida, determine o valor de .