Encontre os pontos no cilindro hiperbólico x^2 - z^2 - 1 = 0 mais próximos de (0, 0, 0).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem que encontrar os pontos no cilindro hiperbólico definido por que estão mais próximos da origem, ou seja, do ponto . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, focando em minimizar a distância.

Passo 2

Primeiro, lembremos que a distância ( ) entre dois pontos no espaço é dada pela fórmula:
No nosso caso, queremos a distância entre um ponto qualquer no cilindro e a origem , então a fórmula fica:

Passo 3

Sabendo que o ponto está no cilindro hiperbólico , podemos rearranjar essa equação para:
Vamos substituir isso na fórmula da distância:

Passo 4

Para minimizar a distância , precisamos minimizar a expressão dentro da raiz:
Como e são sempre maiores ou iguais a zero, a mínima distância ocorre quando ambos são zero:

Passo 5

Com e , substituímos na equação do cilindro para encontrar :
Então, os pontos mais próximos da origem são e .

Resposta

Os pontos no cilindro hiperbólico mais próximos da origem são e .

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