Encontre os pontos no cilindro hiperbólico
mais próximos de
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem que encontrar os pontos no cilindro hiperbólico definido por
que estão mais próximos da origem, ou seja, do ponto
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, focando em minimizar a distância.
Passo 2
Primeiro, lembremos que a distância (
) entre dois pontos no espaço é dada pela fórmula:
No nosso caso, queremos a distância entre um ponto qualquer
no cilindro e a origem
, então a fórmula fica:
Passo 3
Sabendo que o ponto
está no cilindro hiperbólico
, podemos rearranjar essa equação para:
Vamos substituir isso na fórmula da distância:
Passo 4
Para minimizar a distância
, precisamos minimizar a expressão dentro da raiz:
Como
e
são sempre maiores ou iguais a zero, a mínima distância ocorre quando ambos são zero:
Passo 5
Com
e
, substituímos na equação do cilindro para encontrar
:
Então, os pontos mais próximos da origem são
e
.
Resposta
Os pontos no cilindro hiperbólico
mais próximos da origem são
e
.
Exercícios relacionados
Determine os pontos críticos de cada uma das funções representadas pelas leis de formação dadas em cada item e classifique-os.
© .
©
Calcule a área de
, dada pela região limitada pelos gráficos de
e
0 . Em seguida, determine o valor de
.
Determine, entre os triângulos de mesmo perímetro, o de área máxima.
(b) Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange.
(b) Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange.
Pondo
, determine
.