Calcule a área da superfície em cada caso: é a porção do cilindro , compreendida acima da região triangular e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área da superfície , que é uma parte do cilindro definido por . A região que nos interessa está acima do triângulo com as condições e . Vamos precisar usar cálculo integral, mais especificamente, integração sobre superfícies, para achar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o cilindro . Esse é um cilindro circular reto de raio 4, centrado no eixo x. Para facilitar a integração, podemos parametrizar o cilindro usando coordenadas cilíndricas. Vamos definir:
onde vai de 0 a para cobrir toda a circunferência.

Passo 3

Agora, precisamos identificar os limites para e de acordo com a região triangular dada. O triângulo está limitado por e . Substituindo na segunda desigualdade:
Como varia de 0 a 2, e varia de -1 a 1, ajustamos os limites de para garantir que seja não negativo:
Isso corresponde a entre e .

Passo 4

Para calcular a área da superfície, usamos a fórmula da integral de superfície:
Á
Onde . Calculando as derivadas parciais:
O produto vetorial é:
A magnitude desse vetor é:
Então, a integral fica:
Á
Integrando em relação a :
Agora, integramos em relação a :
Á

Resposta

A área da superfície é unidades quadradas.

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em cada um dos seguintes casos: , com a fronteira da superfície .
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