com , em cada um dos seguintes casos: , com a semiesfera .
Passo 1
Beleza, então temos que calcular a integral de linha , onde . O contorno é a borda da semiesfera definida por . Vamos usar o teorema de Stokes, que está no campo do Cálculo Vetorial, para resolver essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teorema de Stokes. Ele relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional de sobre uma superfície que tem como fronteira. Em fórmula:
onde é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional de , que é . Para :
Simplificando:
Passo 4
Agora precisamos encontrar o vetor normal à superfície . A semiesfera tem como vetor normal dado por:
onde . Calculando:
Normalizando:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar :
Passo 6
Precisamos agora integrar sobre a superfície . Porém, observe que devido à simetria da semiesfera em torno do eixo , as integrais de e sobre serão nulas. Portanto, restará apenas a integral de :
Passo 7
Para calcular , podemos usar coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, e . Como estamos na semiesfera de raio 1: