Calcule a integral
com , em cada um dos seguintes casos: , com a semiesfera .

Passo 1

Beleza, então temos que calcular a integral de linha , onde . O contorno é a borda da semiesfera definida por . Vamos usar o teorema de Stokes, que está no campo do Cálculo Vetorial, para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teorema de Stokes. Ele relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional de sobre uma superfície que tem como fronteira. Em fórmula:
onde é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional de , que é . Para :
Simplificando:

Passo 4

Agora precisamos encontrar o vetor normal à superfície . A semiesfera tem como vetor normal dado por:
onde . Calculando:
Normalizando:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar :

Passo 6

Precisamos agora integrar sobre a superfície . Porém, observe que devido à simetria da semiesfera em torno do eixo , as integrais de e sobre serão nulas. Portanto, restará apenas a integral de :

Passo 7

Para calcular , podemos usar coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, e . Como estamos na semiesfera de raio 1:

Passo 8

Vamos resolver a integral interna primeiro:
Fazendo a substituição , :

Passo 9

Agora, a integral externa:

Resposta

Portanto, o valor da integral é igual a .

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Calcule a integral
com e a superfície delimitada pelo planos , e .
Calcule o volume de um cubo qualquer.
Calcule a integral
em cada um dos seguintes casos: , com a fronteira da superfície .
Calcule a área da superfície em cada caso: é a porção do cilindro , compreendida acima da região triangular e .