Calcule a integral
ointC F bul<=t d r
com C=partial S, em cada um dos seguintes casos: F=z i+x j+y k, com S a semiesfera z=raiz1-x^2-y^2.

Passo 1

Beleza, então temos que calcular a integral de linha , onde . O contorno é a borda da semiesfera definida por . Vamos usar o teorema de Stokes, que está no campo do Cálculo Vetorial, para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teorema de Stokes. Ele relaciona a integral de linha de um campo vetorial ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS ao longo de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional de sobre uma superfície que tem como fronteira. Em fórmula:
onde é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional de nabla times F = ( partial ypartial y - partial xpartial z ) i + ( partial zpartial z - partial ypartial x ) j + ( partial xpartial x - partial zpartial y ) k , que é nabla times F = (1 - 0) i + (1 - 0) j + (1 - 0) k = i + j + k . Para :
Simplificando:

Passo 4

Agora precisamos encontrar o vetor normal n = nabla f|nabla f| à superfície nabla f = 2x i + 2y j + 2z k . A semiesfera n = x i + y j + z kraizx^2 + y^2 + z^2 = x i + y j + z k (pois raizx^2 + y^2 + z^2 = 1) tem como vetor normal dado por:
onde . Calculando:
Normalizando:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar (i + j + k) cdot (x i + y j + z k) = x + y + z :

Passo 6

Precisamos agora integrar integral duplaS z , dS sobre a superfície . Porém, observe que devido à simetria da semiesfera em torno do eixo , as integrais de e sobre serão nulas. Portanto, restará apenas a integral de :

Passo 7

Para calcular integral duplaS z , dS = integral0^2pi integral0^pi/2 cos phi cdot sin phi , dphi , dtheta , podemos usar coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, e . Como estamos na semiesfera de raio 1:

Passo 8

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^pi/2 cos phi cdot sin phi , dphi
Fazendo a substituição integral1^0 u cdot (-du) = integral0^1 u , du = 12 u^2 |0^1 = 12 , :

Passo 9

Agora, a integral externa:
integral0^2pi 12 , dtheta = 12 cdot 2pi = pi

Resposta

Portanto, o valor da integral é igual a .

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