em cada um dos seguintes casos: , com a fronteira da superfície .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde é a fronteira da superfície definida por e . Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de linha.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a curva . A superfície é um plano inclinado. A condição nos diz que estamos considerando uma região entre dois círculos no plano :
Um círculo interno com raio (quando )
Um círculo externo com raio (quando )
A fronteira será a união desses dois círculos elevados ao plano .
Passo 3
Vamos parametrizar a curva . Como consiste em dois círculos, podemos parametrizar cada um separadamente:
Para um círculo de raio :
onde varia de a .
Passo 4
Agora, vamos calcular . Derivando em relação a :
Substituindo e na integral:
Passo 5
Vamos calcular a integral . Usando uma identidade trigonométrica:
Integrando termo a termo:
Portanto, a integral original fica:
Passo 6
Como consiste em dois círculos, um com e outro com , devemos calcular a integral para cada raio e somar os resultados:
Para :
Para :
Resposta
A integral vale para o círculo de raio 1 e para o círculo de raio 2.