Calcule a integral
integralC L d x+M d y+n d z
em cada um dos seguintes casos: integralC x^3 d z, com C a fronteira da superfície z=y+4,1 <= x^2+y^2 <= 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC x^3 , dz
onde é a fronteira da superfície definida por e . Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de linha.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a curva . A superfície é um plano inclinado. A condição nos diz que estamos considerando uma região entre dois círculos no plano :
  • Um círculo interno com raio (quando )
  • Um círculo externo com raio (quando )
A fronteira será a união desses dois círculos elevados ao plano .

Passo 3

Vamos parametrizar a curva x = r cos theta y = r sin theta z = y + 4 = r sin theta + 4 . Como consiste em dois círculos, podemos parametrizar cada um separadamente:
Para um círculo de raio :
onde varia de a .

Passo 4

Agora, vamos calcular dz = dzdtheta dtheta = ddtheta(r sin theta + 4) dtheta = r cos theta , dtheta . Derivando integralC x^3 , dz = integral0^2pi (r cos theta)^3 cdot (r cos theta) , dtheta = r^4 integral0^2pi cos^4 theta , dtheta em relação a :
Substituindo e na integral:

Passo 5

Vamos calcular a integral cos^4 theta = 38 + 12 cos(2theta) + 18 cos(4theta) . Usando uma identidade trigonométrica:
integral0^2pi cos^4 theta , dtheta = 38 cdot 2pi + 12 cdot 0 + 18 cdot 0 = 3pi4
Integrando termo a termo:
integralC x^3 , dz = r^4 cdot 3pi4
Portanto, a integral original fica:

Passo 6

Como integralC1 x^3 , dz = 1^4 cdot 3pi4 = 3pi4 consiste em dois círculos, um com integralC2 x^3 , dz = 2^4 cdot 3pi4 = 16 cdot 3pi4 = 12pi e outro com , devemos calcular a integral para cada raio e somar os resultados:
Para :
Para :

Resposta

A integral vale para o círculo de raio 1 e para o círculo de raio 2.

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