Calcule a integral
em cada um dos seguintes casos: , com a fronteira da superfície .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde é a fronteira da superfície definida por e . Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de linha.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a curva . A superfície é um plano inclinado. A condição nos diz que estamos considerando uma região entre dois círculos no plano :
  • Um círculo interno com raio (quando )
  • Um círculo externo com raio (quando )
A fronteira será a união desses dois círculos elevados ao plano .

Passo 3

Vamos parametrizar a curva . Como consiste em dois círculos, podemos parametrizar cada um separadamente:
Para um círculo de raio :
onde varia de a .

Passo 4

Agora, vamos calcular . Derivando em relação a :
Substituindo e na integral:

Passo 5

Vamos calcular a integral . Usando uma identidade trigonométrica:
Integrando termo a termo:
Portanto, a integral original fica:

Passo 6

Como consiste em dois círculos, um com e outro com , devemos calcular a integral para cada raio e somar os resultados:
Para :
Para :

Resposta

A integral vale para o círculo de raio 1 e para o círculo de raio 2.

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Calcule a integral
com , em cada um dos seguintes casos: , com a semiesfera .
Calcule a integral
com e a superfície delimitada pelo planos , e .
Calcule a área da superfície em cada caso: é a porção do cilindro , compreendida acima da região triangular e .
Calcule a área da superfície em cada caso: é a porção do cilindro , interna ao cilindro parabólico e acima do plano .