Calcule as seguintes integrais de superfícies: é o cilindro .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O problema pede para calcular a integral , onde é o cilindro definido por , variando de até . Isso envolve conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente integrais de superfície. Vamos precisar entender como parametrizar a superfície do cilindro e aplicar a fórmula da integral de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o cilindro . Uma maneira comum de fazer isso é usar coordenadas cilíndricas. Podemos definir:
Aqui, varia de a e varia de a . Assim, a parametrização da superfície é .
Passo 3
Agora, precisamos calcular o elemento de área na parametrização. Para isso, calculamos os vetores tangentes à superfície em relação a e :
O elemento de área é o módulo do produto vetorial desses vetores:
Calculando o produto vetorial:
O módulo desse vetor é:
Então, o elemento de área é:
Passo 4
Agora, vamos expressar a função que estamos integrando, que é , na parametrização que definimos:
Portanto, a integral de superfície fica:
Simplificando:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Sabemos que a integral de de a é zero, porque a função é simétrica em relação ao eixo e as áreas positiva e negativa se cancelam.
Então,
Passo 6
Substituindo esse resultado na integral original:
Resposta
A integral de superfície sobre o cilindro , de a , é igual a .