Calcule as seguintes integrais de superfícies: é o cilindro .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O problema pede para calcular a integral , onde é o cilindro definido por , variando de até . Isso envolve conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente integrais de superfície. Vamos precisar entender como parametrizar a superfície do cilindro e aplicar a fórmula da integral de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o cilindro . Uma maneira comum de fazer isso é usar coordenadas cilíndricas. Podemos definir:
Aqui, varia de a e varia de a . Assim, a parametrização da superfície é .

Passo 3

Agora, precisamos calcular o elemento de área na parametrização. Para isso, calculamos os vetores tangentes à superfície em relação a e :
O elemento de área é o módulo do produto vetorial desses vetores:
Calculando o produto vetorial:
O módulo desse vetor é:
Então, o elemento de área é:

Passo 4

Agora, vamos expressar a função que estamos integrando, que é , na parametrização que definimos:
Portanto, a integral de superfície fica:
Simplificando:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Sabemos que a integral de de a é zero, porque a função é simétrica em relação ao eixo e as áreas positiva e negativa se cancelam.
Então,

Passo 6

Substituindo esse resultado na integral original:

Resposta

A integral de superfície sobre o cilindro , de a , é igual a .

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Calcule a área da superfície em cada caso: é a porção do cilindro , interna ao cilindro parabólico e acima do plano .
Calcule a área da superfície em cada caso: é a porção do cilindro , compreendida acima da região triangular e .
Calcule as seguintes integrais de superfícies: é a porção do cilindro , compreendida entre os planos e .
Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies: .