Calcule as seguintes integrais de superfícies: é o cilindro .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O problema pede para calcular a integral , onde é o cilindro definido por , variando de até . Isso envolve conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente integrais de superfície. Vamos precisar entender como parametrizar a superfície do cilindro e aplicar a fórmula da integral de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o cilindro . Uma maneira comum de fazer isso é usar coordenadas cilíndricas. Podemos definir:
Aqui, varia de a e varia de a . Assim, a parametrização da superfície é .
Passo 3
Agora, precisamos calcular o elemento de área na parametrização. Para isso, calculamos os vetores tangentes à superfície em relação a e :
O elemento de área é o módulo do produto vetorial desses vetores:
Calculando o produto vetorial:
partial rpartial theta times partial rpartial z = (r cos theta, r sin theta, 0)
O módulo desse vetor é:
| partial rpartial theta times partial rpartial z | = r
Então, o elemento de área é:
dS = r , dtheta , dz
Passo 4
Agora, vamos expressar a função que estamos integrando, que é x, na parametrização que definimos:
x = r cos theta
Portanto, a integral de superfície fica:
integral duplaS x , dS = integralz=-1^1 integraltheta=0^2pi r cos theta cdot r , dtheta , dz
Simplificando:
integral duplaS x , dS = r^2 integral-1^1 integral0^2pi cos theta , dtheta , dz
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a theta:
integral0^2pi cos theta , dtheta
Sabemos que a integral de cos theta de 0 a 2pi é zero, porque a função é simétrica em relação ao eixo x e as áreas positiva e negativa se cancelam.
Então,
integral0^2pi cos theta , dtheta = 0
Passo 6
Substituindo esse resultado na integral original:
integral duplaS x , dS = r^2 integral-1^1 0 , dz = 0
Resposta
A integral de superfície integral duplaS x , dS sobre o cilindro x^2 + y^2 = r^2, de z = -1 a z = 1, é igual a 0.