Calcule as seguintes integrais de superfícies: integral duplaS x d S, S é o cilindro x^2+y^2=r^2,-1 <= z <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O problema pede para calcular a integral integral duplaS x , dS, onde S é o cilindro definido por x^2 + y^2 = r^2, variando de z = -1 até z = 1. Isso envolve conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente integrais de superfície. Vamos precisar entender como parametrizar a superfície do cilindro e aplicar a fórmula da integral de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o cilindro x^2 + y^2 = r^2. Uma maneira comum de fazer isso é usar coordenadas cilíndricas. Podemos definir:
x = r cos theta
y = r sin theta
z = z
Aqui, theta varia de 0 a 2pi e z varia de -1 a 1. Assim, a parametrização da superfície é r(theta, z) = (r cos theta, r sin theta, z).

Passo 3

Agora, precisamos calcular o elemento de área dS na parametrização. Para isso, calculamos os vetores tangentes à superfície em relação a theta e z:
partial rpartial theta = (-r sin theta, r cos theta, 0)
partial rpartial z = (0, 0, 1)
O elemento de área é o módulo do produto vetorial desses vetores:
dS = | partial rpartial theta times partial rpartial z | dtheta dz
Calculando o produto vetorial:
partial rpartial theta times partial rpartial z = (r cos theta, r sin theta, 0)
O módulo desse vetor é:
| partial rpartial theta times partial rpartial z | = r
Então, o elemento de área é:
dS = r , dtheta , dz

Passo 4

Agora, vamos expressar a função que estamos integrando, que é x, na parametrização que definimos:
x = r cos theta
Portanto, a integral de superfície fica:
integral duplaS x , dS = integralz=-1^1 integraltheta=0^2pi r cos theta cdot r , dtheta , dz
Simplificando:
integral duplaS x , dS = r^2 integral-1^1 integral0^2pi cos theta , dtheta , dz

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a theta:
integral0^2pi cos theta , dtheta
Sabemos que a integral de cos theta de 0 a 2pi é zero, porque a função é simétrica em relação ao eixo x e as áreas positiva e negativa se cancelam.
Então,
integral0^2pi cos theta , dtheta = 0

Passo 6

Substituindo esse resultado na integral original:
integral duplaS x , dS = r^2 integral-1^1 0 , dz = 0

Resposta

A integral de superfície integral duplaS x , dS sobre o cilindro x^2 + y^2 = r^2, de z = -1 a z = 1, é igual a 0.

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