Calcule a área da superfície
em cada caso:
é a porção do cilindro
, interna ao cilindro parabólico
e acima do plano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área de uma parte específica de um cilindro. Estamos lidando com geometria espacial aqui. Precisaremos entender um pouco sobre cilindros, interseções entre superfícies e integração para encontrar essa área. Vamos precisar usar fórmulas de cálculo de áreas de superfície e coordenadas cilíndricas para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as superfícies envolvidas no problema:
- Cilindro dado pela equação
: Esse é um cilindro circular reto com raio 2, alinhado ao eixo x. - Cilindro parabólico dado por
: Esse é um cilindro que se abre ao longo do eixo x. - Plano
: Esse é o plano xy, servindo como limite inferior.
Queremos encontrar a área da porção do cilindro
que está dentro do cilindro parabólico e acima do plano
.
Passo 3
Vamos simplificar a região de integração. Como o cilindro
é alinhado ao eixo x, podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar. Em coordenadas cilíndricas, as variáveis são
,
e
, onde:
-
-
-
permanece o mesmo.
Como
, temos que
. Então, o cilindro tem raio 2.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os limites para
. A interseção dos dois cilindros ocorre quando:
Substituindo
:
Portanto, para cada ângulo
,
varia de
a
.
Passo 5
Como estamos interessados apenas na parte acima do plano
, que em coordenadas cilíndricas corresponde a
variando de
a
.
Passo 6
A fórmula para a área de superfície de um cilindro em coordenadas cilíndricas é:
No nosso caso,
, então a área será:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 8
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Portanto:
Assim, a integral fica:
Passo 9
Vamos resolver a integral:
Avaliando de
a
:
Passo 10
Substituímos de volta na expressão para
:
Resposta
A área da superfície
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Calcule a área da superfície
em cada caso:
é a porção do cilindro
, compreendida acima da região triangular
e
.
Calcule a integral
em cada um dos seguintes casos:
, com
a fronteira da superfície
.
Calcule as seguintes integrais de superfícies:
é o cilindro
.
Calcule as seguintes integrais de superfícies:
é a porção do cilindro
, compreendida entre os planos
e
.