Calcule a área da superfície em cada caso: é a porção do cilindro , interna ao cilindro parabólico e acima do plano .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área de uma parte específica de um cilindro. Estamos lidando com geometria espacial aqui. Precisaremos entender um pouco sobre cilindros, interseções entre superfícies e integração para encontrar essa área. Vamos precisar usar fórmulas de cálculo de áreas de superfície e coordenadas cilíndricas para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as superfícies envolvidas no problema:
  1. Cilindro dado pela equação : Esse é um cilindro circular reto com raio 2, alinhado ao eixo x.
  2. Cilindro parabólico dado por : Esse é um cilindro que se abre ao longo do eixo x.
  3. Plano : Esse é o plano xy, servindo como limite inferior.
Queremos encontrar a área da porção do cilindro que está dentro do cilindro parabólico e acima do plano .

Passo 3

Vamos simplificar a região de integração. Como o cilindro é alinhado ao eixo x, podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar. Em coordenadas cilíndricas, as variáveis são , e , onde:
  • permanece o mesmo.
Como , temos que . Então, o cilindro tem raio 2.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os limites para . A interseção dos dois cilindros ocorre quando:
Substituindo :
Portanto, para cada ângulo , varia de a .

Passo 5

Como estamos interessados apenas na parte acima do plano , que em coordenadas cilíndricas corresponde a variando de a .

Passo 6

A fórmula para a área de superfície de um cilindro em coordenadas cilíndricas é:
No nosso caso, , então a área será:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a :

Passo 8

Agora, substituímos de volta na integral externa:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Portanto:
Assim, a integral fica:

Passo 9

Vamos resolver a integral:
Avaliando de a :

Passo 10

Substituímos de volta na expressão para :

Resposta

A área da superfície é unidades de área.

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Calcule a área da superfície em cada caso: é a porção do cilindro , compreendida acima da região triangular e .
Calcule a integral
em cada um dos seguintes casos: , com a fronteira da superfície .
Calcule as seguintes integrais de superfícies: é o cilindro .
Calcule as seguintes integrais de superfícies: é a porção do cilindro , compreendida entre os planos e .