Calcule a área da superfície em cada caso: é a porção do cilindro , delimitada por .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a área da superfície que é uma porção do cilindro definido por , limitada pela curva . Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos de geometria analítica e cálculo de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o cilindro . Esse cilindro é circular, com raio , e está estendido ao longo do eixo . Ou seja, para qualquer valor de , a seção transversal no plano é um círculo de raio .

Passo 3

Agora, vamos analisar a curva . Essa é uma parábola que abre para o lado positivo do eixo e está deslocada para a esquerda no eixo por unidades. Essa curva vai delimitar os limites da região do cilindro cuja área queremos calcular.

Passo 4

Para encontrar a área superficial da porção do cilindro delimitada pela parábola, precisamos parametrizar o cilindro e determinar as restrições impostas pela curva.
A parametrização do cilindro pode ser feita usando coordenadas cilíndricas:
onde varia de a e varia dentro dos limites determinados pela parábola.

Passo 5

Vamos agora encontrar os limites para . A equação da parábola é . Substituindo , temos:
Então, para cada , varia de a .

Passo 6

A área superficial pode ser calculada pela integral dupla:
Onde .

Passo 7

Calculando as derivadas parciais:
O produto vetorial é:
A norma desse vetor é:

Passo 8

Então, a integral para a área superficial fica:

Passo 9

Utilizando a identidade trigonométrica , temos:
Então, a integral se torna:

Passo 10

Calculando a integral:
No entanto, isso indica que devemos considerar o valor absoluto na integral, já que a área não pode ser negativa. Portanto:

Resposta

A área da superfície é .

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