Calcule a área da superfície em cada caso: é a porção do cilindro , delimitada por .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a área da superfície que é uma porção do cilindro definido por , limitada pela curva . Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos de geometria analítica e cálculo de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o cilindro . Esse cilindro é circular, com raio , e está estendido ao longo do eixo . Ou seja, para qualquer valor de , a seção transversal no plano é um círculo de raio .
Passo 3
Agora, vamos analisar a curva . Essa é uma parábola que abre para o lado positivo do eixo e está deslocada para a esquerda no eixo por unidades. Essa curva vai delimitar os limites da região do cilindro cuja área queremos calcular.
Passo 4
Para encontrar a área superficial da porção do cilindro delimitada pela parábola, precisamos parametrizar o cilindro e determinar as restrições impostas pela curva.
A parametrização do cilindro pode ser feita usando coordenadas cilíndricas:
onde varia de a e varia dentro dos limites determinados pela parábola.
Passo 5
Vamos agora encontrar os limites para . A equação da parábola é . Substituindo , temos:
Então, para cada , varia de a .
Passo 6
A área superficial pode ser calculada pela integral dupla:
Onde .
Passo 7
Calculando as derivadas parciais:
O produto vetorial é:
A norma desse vetor é:
Passo 8
Então, a integral para a área superficial fica:
Passo 9
Utilizando a identidade trigonométrica , temos:
Então, a integral se torna:
Passo 10
Calculando a integral:
No entanto, isso indica que devemos considerar o valor absoluto na integral, já que a área não pode ser negativa. Portanto: