Calcule a área da superfície em cada caso: é a porção da esfera , interna ao cilindro .

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria envolvendo uma esfera e um cilindro. A questão pede para calcular a área da parte da esfera que está dentro do cilindro . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre superfícies de sólidos e integrais para calcular áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação do cilindro . Podemos reescrever essa equação completando o quadrado para facilitar a visualização:
Isso mostra que o cilindro tem raio e está deslocado no eixo y em . Portanto, o cilindro está centrado em e se estende ao longo do eixo z.

Passo 3

Agora, vamos visualizar a esfera . Ela tem raio e está centrada na origem. Queremos encontrar a área da superfície da esfera que está dentro do cilindro mencionado.

Passo 4

Para calcular essa área, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
A equação da esfera em coordenadas cilíndricas fica:
E a equação do cilindro se torna:

Passo 5

Agora, queremos encontrar os limites de integração para e . Observamos que o cilindro limita o valor de em função de :

Passo 6

A área de uma superfície em coordenadas cilíndricas pode ser calculada pela integral dupla:
Aqui, vem da derivada parcial da função em relação a .

Passo 7

Resolvendo a integral interna em :
Fazemos a substituição , então , o que resulta em:

Passo 8

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:

Resposta

A área da superfície é .

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Calcule a área da superfície em cada caso: é uma esfera de raio .
Determine uma representação do plano tangente e da reta normal às superfícies no ponto indicado. , em .
Calcule a área da superfície em cada caso: é a porção do cilindro , delimitada por .
Calcule a área da superfície em cada caso: é a porção do plano no primeiro octante.