Calcule a área da superfície
em cada caso:
é a porção da esfera
, interna ao cilindro
.
Passo 1
Vamos resolver um problema de geometria envolvendo uma esfera e um cilindro. A questão pede para calcular a área da parte da esfera
que está dentro do cilindro
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre superfícies de sólidos e integrais para calcular áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação do cilindro
. Podemos reescrever essa equação completando o quadrado para facilitar a visualização:
Isso mostra que o cilindro tem raio
e está deslocado no eixo y em
. Portanto, o cilindro está centrado em
e se estende ao longo do eixo z.
Passo 3
Agora, vamos visualizar a esfera
. Ela tem raio
e está centrada na origem. Queremos encontrar a área da superfície da esfera que está dentro do cilindro mencionado.
Passo 4
Para calcular essa área, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
A equação da esfera em coordenadas cilíndricas fica:
E a equação do cilindro se torna:
Passo 5
Agora, queremos encontrar os limites de integração para
e
. Observamos que o cilindro limita o valor de
em função de
:
Passo 6
A área de uma superfície em coordenadas cilíndricas pode ser calculada pela integral dupla:
Aqui,
vem da derivada parcial da função
em relação a
.
Passo 7
Resolvendo a integral interna em
:
Fazemos a substituição
, então
, o que resulta em:
Passo 8
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Resposta
A área da superfície
é
.
Exercícios relacionados
Calcule a área da superfície
em cada caso:
é uma esfera de raio
.
Determine uma representação do plano tangente e da reta normal às superfícies no ponto indicado.
, em
.
Calcule a área da superfície
em cada caso:
é a porção do cilindro
, delimitada por
.
Calcule a área da superfície
em cada caso:
é a porção do plano
no primeiro octante.