Calcule a área da superfície em cada caso: é a porção do plano no primeiro octante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a área da superfície , que é a parte do plano que está no primeiro octante. Primeiro, vamos lembrar que o primeiro octante é quando , e são todos maiores ou iguais a zero. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria e cálculo para encontrar essa área.
Passo 2
Vamos começar encontrando onde o plano intercepta os eixos , e . Isso vai nos ajudar a entender o formato da área que vamos calcular.
Intercepto no eixo : Colocamos e na equação do plano:
Então, o ponto é .
Intercepto no eixo : Colocamos e :
Ponto: .
Intercepto no eixo : Colocamos e :
Ponto: .
Passo 3
Agora que temos os interceptos, percebemos que a área que queremos calcular é um triângulo no primeiro octante com os vértices , e . Para encontrar a área desse triângulo, podemos usar a fórmula da área de um triângulo no espaço:
onde e são vetores que representam dois lados do triângulo.
Passo 4
Vamos definir os vetores e :
vai do ponto até :
vai do ponto até :
Passo 5
Vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos calcular a norma (magnitude) do vetor :