Calcule a área da superfície em cada caso: é a porção do plano no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a área da superfície , que é a parte do plano que está no primeiro octante. Primeiro, vamos lembrar que o primeiro octante é quando , e são todos maiores ou iguais a zero. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria e cálculo para encontrar essa área.

Passo 2

Vamos começar encontrando onde o plano intercepta os eixos , e . Isso vai nos ajudar a entender o formato da área que vamos calcular.
  • Intercepto no eixo : Colocamos e na equação do plano:
    Então, o ponto é .
  • Intercepto no eixo : Colocamos e :
    Ponto: .
  • Intercepto no eixo : Colocamos e :
    Ponto: .

Passo 3

Agora que temos os interceptos, percebemos que a área que queremos calcular é um triângulo no primeiro octante com os vértices , e . Para encontrar a área desse triângulo, podemos usar a fórmula da área de um triângulo no espaço:
Á
onde e são vetores que representam dois lados do triângulo.

Passo 4

Vamos definir os vetores e :
  • vai do ponto até :
  • vai do ponto até :

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos calcular a norma (magnitude) do vetor :
Fatorando :

Passo 7

Finalmente, aplicamos a fórmula da área:
Á

Resposta

A área da superfície é unidades de área.

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