Calcule as seguintes integrais de superfícies: integral duplaS z^2 d S, S é a porção do cilindro x^2+y^2=4, compreendida entre os planos z=0 e z=x+3.

Passo 1

Vamos resolver a integral de superfície integral duplaS z^2 , dS, onde S é a parte do cilindro x^2+y^2=4 entre os planos z=0 e z=x+3. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como parametrização de superfícies e integração em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o cilindro x^2+y^2=4. Em coordenadas cilíndricas, isso fica r = 2, onde r é o raio. Então, podemos expressar x e y em termos do ângulo theta:
x = 2costheta y = 2sintheta
O limite para theta será de 0 a 2pi para cobrir toda a circunferência.

Passo 3

Agora, identificamos os limites para z. O cilindro está limitado entre z=0 e z=x+3. Substituindo x = 2costheta, temos:
z = 2costheta + 3
Portanto, z varia de 0 a 2costheta + 3 para cada theta.

Passo 4

A área da superfície em coordenadas cilíndricas é dada por:
dS = r , dtheta , dz
Como r = 2, temos:
dS = 2 , dtheta , dz

Passo 5

Agora, expressamos a integral de superfície em coordenadas cilíndricas:
integral duplaS z^2 , dS = integral0^2pi integral0^2costheta + 3 z^2 cdot 2 , dz , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a z primeiro:
integral0^2costheta + 3 z^2 cdot 2 , dz = 2 [ z^33 ]0^2costheta + 3 = 23 ( (2costheta + 3)^3 - 0 ) = 23 (2costheta + 3)^3

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral externa:
integral duplaS z^2 , dS = 23 integral0^2pi (2costheta + 3)^3 , dtheta
Vamos expandir (2costheta + 3)^3 usando o binômio de Newton:
(2costheta + 3)^3 = 8cos^3theta + 36cos^2theta + 54costheta + 27

Passo 8

A integral fica:
23 integral0^2pi (8cos^3theta + 36cos^2theta + 54costheta + 27) dtheta
Podemos separar as integrais:
23 ( 8integral0^2pi cos^3theta , dtheta + 36integral0^2pi cos^2theta , dtheta + 54integral0^2pi costheta , dtheta + 27integral0^2pi dtheta )

Passo 9

Calculamos cada integral separadamente:
  1. integral0^2pi cos^3theta , dtheta = 0 (integral de função ímpar em intervalo completo)
  2. integral0^2pi cos^2theta , dtheta = pi (usando a identidade cos^2theta = 1 + cos 2theta2)
  3. integral0^2pi costheta , dtheta = 0 (integral de função ímpar em intervalo completo)
  4. integral0^2pi dtheta = 2pi

Passo 10

Substituindo os resultados:
23 ( 8 cdot 0 + 36 cdot pi + 54 cdot 0 + 27 cdot 2pi ) = 23 (36pi + 54pi) = 23 cdot 90pi = 60pi

Resposta

A integral de superfície é igual a 60pi.

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