Calcule as seguintes integrais de superfícies:
é a porção do cilindro
, compreendida entre os planos
e
.
Passo 1
Vamos resolver a integral de superfície
, onde
é a parte do cilindro
entre os planos
e
. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como parametrização de superfícies e integração em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o cilindro
. Em coordenadas cilíndricas, isso fica
, onde
é o raio. Então, podemos expressar
e
em termos do ângulo
:
O limite para
será de
a
para cobrir toda a circunferência.
Passo 3
Agora, identificamos os limites para
. O cilindro está limitado entre
e
. Substituindo
, temos:
Portanto,
varia de
a
para cada
.
Passo 4
A área da superfície em coordenadas cilíndricas é dada por:
Como
, temos:
Passo 5
Agora, expressamos a integral de superfície em coordenadas cilíndricas:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
primeiro:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Vamos expandir
usando o binômio de Newton:
Passo 8
A integral fica:
Podemos separar as integrais:
Passo 9
Calculamos cada integral separadamente:
-
(integral de função ímpar em intervalo completo) -
(usando a identidade ) -
(integral de função ímpar em intervalo completo) -
Passo 10
Substituindo os resultados:
Resposta
A integral de superfície é igual a
.