Calcule a área da superfície
em cada caso:
é a porção do cone
, interna ao cilindro
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da superfície
, que é uma parte do cone dado por
com
, e que está dentro do cilindro
. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo de áreas de superfícies usando integrais, além de entender como esses sólidos se relacionam no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação do cilindro:
. Podemos reescrever essa equação completando o quadrado:
Isso mostra que o cilindro é um círculo com raio
e centro no ponto
no plano
.
Passo 3
Agora, a equação do cone é
. Como
, estamos lidando com a parte superior do cone. Para calcular a área da superfície dessa parte do cone dentro do cilindro, vamos usar coordenadas polares, que são úteis para simetria circular.
Passo 4
Em coordenadas polares, temos:
Substituindo na equação do cilindro:
Isso nos dá os limites para
em termos de
.
Passo 5
A área de uma superfície parametrizada em coordenadas polares pode ser calculada pela integral dupla:
Para o cone
, derivando em relação a
e
:
Então, a expressão dentro da raiz fica:
Passo 6
Agora, a integral para a área fica:
Aqui,
varia de
a
para cobrir todo o cilindro.
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Passo 8
Substituindo de volta na integral:
Passo 9
Agora, usamos a identidade trigonométrica
:
Aplicando os limites de integração:
Passo 10
Finalmente, substituindo de volta:
Resposta
A área da superfície
é
.
Exercícios relacionados
Calcule o fluxo do campo vetorial
através da superfície
em cada um dos seguintes casos:
, com
a porção do cone
interna ao cilindro
.
Seja
um campo vetorial em
. Calcule as integrais
com
a esfera
e
é a esfera sólida
. Compare os valores.
Calcule a área da superfície
em cada caso:
é a porção do cilindro parabólico
, compreendida acima da região
e
.
Deduza as fórmulas para as áreas de um cone e de um cilindro (circular reto) de raio
e altura
.