Calcule a área da superfície em cada caso: é a porção do cone , interna ao cilindro .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da superfície , que é uma parte do cone dado por com , e que está dentro do cilindro . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo de áreas de superfícies usando integrais, além de entender como esses sólidos se relacionam no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação do cilindro: . Podemos reescrever essa equação completando o quadrado:
Isso mostra que o cilindro é um círculo com raio e centro no ponto no plano .

Passo 3

Agora, a equação do cone é . Como , estamos lidando com a parte superior do cone. Para calcular a área da superfície dessa parte do cone dentro do cilindro, vamos usar coordenadas polares, que são úteis para simetria circular.

Passo 4

Em coordenadas polares, temos:
Substituindo na equação do cilindro:
Isso nos dá os limites para em termos de .

Passo 5

A área de uma superfície parametrizada em coordenadas polares pode ser calculada pela integral dupla:
Para o cone , derivando em relação a e :
Então, a expressão dentro da raiz fica:

Passo 6

Agora, a integral para a área fica:
Aqui, varia de a para cobrir todo o cilindro.

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro:

Passo 8

Substituindo de volta na integral:

Passo 9

Agora, usamos a identidade trigonométrica :
Aplicando os limites de integração:

Passo 10

Finalmente, substituindo de volta:

Resposta

A área da superfície é .

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Calcule o fluxo do campo vetorial através da superfície em cada um dos seguintes casos: , com a porção do cone interna ao cilindro .
Seja um campo vetorial em . Calcule as integrais
com a esfera e é a esfera sólida . Compare os valores.
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Deduza as fórmulas para as áreas de um cone e de um cilindro (circular reto) de raio e altura .