Calcule o fluxo do campo vetorial através da superfície em cada um dos seguintes casos: , com a porção do cone interna ao cilindro .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície , que é a parte do cone dentro do cilindro . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo através de uma superfície.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanto desse campo passa pela superfície. Matematicamente, é dado por:
onde é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Como é a parte do cone dentro do cilindro , podemos simplificar usando coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
já que .

Passo 4

Vamos parametrizar a superfície usando e :
onde e .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície para calcular o vetor normal. Calculamos as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 6

O vetor normal é o produto vetorial desses vetores tangentes:
Calculando o produto vetorial:

Passo 7

Agora, o elemento de área é o módulo do vetor normal:

Passo 8

O fluxo é então:
Substituindo e :

Passo 9

Agora, integramos sobre de 0 a 1 e de 0 a :
Simplificando:

Passo 10

Vamos calcular a integral interna em :

Passo 11

Agora, integremos em :
Separando as integrais:
Sabemos que:
Portanto:

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície é .

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Calcule a área da superfície em cada caso: é a porção do cone , interna ao cilindro .
Calcule a área da superfície em cada caso: é a porção do cilindro parabólico , compreendida acima da região e .