Calcule o fluxo do campo vetorial através da superfície em cada um dos seguintes casos: , com a porção do cone interna ao cilindro .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície , que é a parte do cone dentro do cilindro . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo através de uma superfície.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanto desse campo passa pela superfície. Matematicamente, é dado por:
onde é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Como é a parte do cone dentro do cilindro , podemos simplificar usando coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
já que .
Passo 4
Vamos parametrizar a superfície usando e :
onde e .
Passo 5
Agora, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície para calcular o vetor normal. Calculamos as derivadas parciais de em relação a e :
Passo 6
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores tangentes:
Calculando o produto vetorial:
Passo 7
Agora, o elemento de área é o módulo do vetor normal:
Passo 8
O fluxo é então:
Substituindo e :
Passo 9
Agora, integramos sobre de 0 a 1 e de 0 a :
Simplificando:
Passo 10
Vamos calcular a integral interna em :
Passo 11
Agora, integremos em :
Separando as integrais:
Sabemos que:
Portanto:
Resposta
O fluxo do campo vetorial através da superfície é .