Calcule a área da superfície em cada caso: é a porção do cilindro parabólico , compreendida acima da região e .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a área da superfície , que é uma parte do cilindro parabólico dado pela equação . Essa superfície está limitada pelas regiões e .
Conteúdo da matéria: Para resolver isso, vamos usar o Cálculo de Áreas de Superfícies, especificamente a fórmula para a área de uma superfície definida por uma função .
O que vamos precisar: Precisamos da fórmula da área de uma superfície e saber derivar a função que representa a superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do cilindro parabólico para expressar em função de :
Aqui, consideramos apenas a parte positiva da raiz porque estamos lidando com áreas, que são positivas.
Teoria aplicada: A área de uma superfície é dada por:
Á
Como nossa função depende apenas de , a derivada parcial em relação a será zero.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :
Simplificação: Agora, substituindo na fórmula da área:

Passo 4

Agora, vamos montar a integral para calcular a área:
Á
Sabemos que a região é definida por e . Então, podemos separar a integral em duas partes:
Á

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Simplificando:

Passo 6

Agora, a integral para a área fica:
Á
Vamos resolver essa integral:
Substituindo , então , e quando , ; quando , .
Então:
Á
Integrando:

Resposta

A área da superfície é:
Á

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