Seja
um campo vetorial em
. Calcule as integrais
com
a esfera
e
é a esfera sólida
. Compare os valores.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um campo vetorial
no espaço tridimensional
. O exercício pede para calcular duas integrais:
- A integral de superfície
, onde é a superfície da esfera . - A integral de volume
, onde é o interior sólido da mesma esfera, ou seja, .
Depois, vamos comparar os valores dessas integrais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a divergência de um campo vetorial e o Teorema da Divergência, que relaciona integrais de superfície com integrais de volume.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência, denotada por
, é dada por:
Onde
,
e
. Calculando:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral de volume
. Substituindo a divergência que encontramos:
Observando que
é uma esfera centralizada na origem, e as funções
,
,
são ímpares em relação à origem. Isso significa que, ao integrar sobre uma região simétrica como a esfera, as integrais de
,
e
serão zero. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de superfície
. Aqui,
é o vetor normal à superfície
. Para uma esfera de raio
, o vetor normal unitário
é dado por:
O produto escalar
então fica:
Agora, a integral de superfície se torna:
Assim como na integral de volume, as funções
,
e
são ímpares em relação à origem. Integrando sobre a superfície simétrica da esfera, essas integrais também serão zero:
Resposta
Ambas as integrais são iguais a zero:
Isso confirma que, de acordo com o Teorema da Divergência, as duas integrais coincidem.
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Calcule as seguintes integrais de linha:
é o círculo
.
Calcule as seguintes integrais de linha:
é qualquer curva regular fechada simples, que não envolve a origem.
Calcule o fluxo do campo vetorial
através da superfície
em cada um dos seguintes casos:
, com
a porção do cone
interna ao cilindro
.
Calcule a área da superfície
em cada caso:
é a porção do cone
, interna ao cilindro
.