Seja F=x^2 i+y^2 j+z^2 k um campo vetorial em R^3. Calcule as integrais
integral duplaS(F bul<=t n) d x d y e integral triplaE(div F) d x d y d z
com S a esfera x^2+y^2+z^2=a^2 e E é a esfera sólida x^2+y^2+z^2 <= a^2. Compare os valores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um campo vetorial F=x^2 i+y^2 j+z^2 k no espaço tridimensional R^3. O exercício pede para calcular duas integrais:
  1. A integral de superfície integral duplaS(F bul<=t n) , dx , dy, onde S é a superfície da esfera x^2+y^2+z^2=a^2.
  2. A integral de volume integral triplaE(div F) , dx , dy , dz, onde E é o interior sólido da mesma esfera, ou seja, x^2+y^2+z^2 <= a^2.
Depois, vamos comparar os valores dessas integrais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a divergência de um campo vetorial e o Teorema da Divergência, que relaciona integrais de superfície com integrais de volume.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial F. A divergência, denotada por div F, é dada por:
div F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Onde Fx = x^2, Fy = y^2 e Fz = z^2. Calculando:
div F = partial (x^2)partial x + partial (y^2)partial y + partial (z^2)partial z = 2x + 2y + 2z

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de volume integral triplaE(div F) , dx , dy , dz. Substituindo a divergência que encontramos:
integral triplaE (2x + 2y + 2z) , dx , dy , dz
Observando que E é uma esfera centralizada na origem, e as funções x, y, z são ímpares em relação à origem. Isso significa que, ao integrar sobre uma região simétrica como a esfera, as integrais de x, y e z serão zero. Portanto:
integral triplaE (2x + 2y + 2z) , dx , dy , dz = 0

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de superfície integral duplaS(F bul<=t n) , dx , dy. Aqui, n é o vetor normal à superfície S. Para uma esfera de raio a, o vetor normal unitário n é dado por:
n = r|r| = x i + y j + z ka
O produto escalar F bul<=t n então fica:
F bul<=t n = x^3 + y^3 + z^3a
Agora, a integral de superfície se torna:
integral duplaS x^3 + y^3 + z^3a , dx , dy
Assim como na integral de volume, as funções x^3, y^3 e z^3 são ímpares em relação à origem. Integrando sobre a superfície simétrica da esfera, essas integrais também serão zero:
integral duplaS x^3 + y^3 + z^3a , dx , dy = 0

Resposta

Ambas as integrais são iguais a zero:
integral duplaS(F bul<=t n) , dx , dy = integral triplaE(div F) , dx , dy , dz = 0
Isso confirma que, de acordo com o Teorema da Divergência, as duas integrais coincidem.

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