Seja um campo vetorial em . Calcule as integrais
com a esfera e é a esfera sólida . Compare os valores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um campo vetorial no espaço tridimensional . O exercício pede para calcular duas integrais:
  1. A integral de superfície , onde é a superfície da esfera .
  2. A integral de volume , onde é o interior sólido da mesma esfera, ou seja, .
Depois, vamos comparar os valores dessas integrais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a divergência de um campo vetorial e o Teorema da Divergência, que relaciona integrais de superfície com integrais de volume.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial . A divergência, denotada por , é dada por:
Onde , e . Calculando:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de volume . Substituindo a divergência que encontramos:
Observando que é uma esfera centralizada na origem, e as funções , , são ímpares em relação à origem. Isso significa que, ao integrar sobre uma região simétrica como a esfera, as integrais de , e serão zero. Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de superfície . Aqui, é o vetor normal à superfície . Para uma esfera de raio , o vetor normal unitário é dado por:
O produto escalar então fica:
Agora, a integral de superfície se torna:
Assim como na integral de volume, as funções , e são ímpares em relação à origem. Integrando sobre a superfície simétrica da esfera, essas integrais também serão zero:

Resposta

Ambas as integrais são iguais a zero:
Isso confirma que, de acordo com o Teorema da Divergência, as duas integrais coincidem.

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