Deduza as fórmulas para as áreas de um cone e de um cilindro (circular reto) de raio e altura .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para deduzirmos as fórmulas das áreas de um cone e de um cilindro circular reto, ambos com raio e altura . Estamos trabalhando com geometria de sólidos, focando em calcular as áreas de superfície. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a área da base e a área lateral de cada figura.

Passo 2

Primeiro, vamos deduzir a fórmula para a área de um cone. Um cone possui uma base circular e uma superfície lateral que é como se fosse um pedaço de papel enrolado. A área total do cone é a soma da área da base com a área lateral.
A área da base é fácil de calcular: é a área de um círculo com raio , que é dada por:
Agora, para a área lateral, precisamos considerar a “geratriz” do cone, que é a linha inclinada do vértice até a borda da base. Vamos chamar essa geratriz de . Para encontrar , usamos o Teorema de Pitágoras no triângulo formado pela altura , o raio e a geratriz :
A área lateral do cone é então:

Passo 3

Agora, vamos deduzir a fórmula para a área de um cilindro circular reto. Um cilindro tem duas bases circulares e uma superfície lateral que é como um retângulo enrolado.
A área de cada base é:
Como são duas bases, a área total das bases é:
Para a área lateral, imagine desenrolar a superfície lateral do cilindro; ela se torna um retângulo com altura e comprimento igual à circunferência da base, que é . Portanto, a área lateral é:
A área total do cilindro é a soma das áreas das duas bases com a área lateral:

Resposta

As fórmulas para as áreas totais são:
  • Cone:
  • Cilindro:

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Calcule a área da superfície em cada caso: é a porção do cilindro parabólico , compreendida acima da região e .
Calcule a área da superfície em cada caso: é a porção do cone , interna ao cilindro .
Calcule as seguintes integrais de superfícies: é a porsão do cilindro e .
Calcule as seguintes integrais de superfícies: é a porsão do plano , interna ao cilindro .