Calcule a área da superfície em cada caso: é a porção do cone , interna ao cilindro e externa ao cilindro .
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo de área de superfície. O problema pede para calcular a área da porção de um cone definido por que está dentro de um cilindro e fora de outro cilindro . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de geometria e cálculo multivariado, especialmente integração em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as figuras envolvidas. O cone é um cone circular reta que se abre para cima. Os cilindros e são cilindros circulares perpendiculares ao eixo z.
Passo 3
Vamos simplificar as equações dos cilindros para entender melhor suas posições. A equação pode ser reescrita completando o quadrado:
Isso mostra que este cilindro é um círculo de raio 1 centrado no ponto no plano xy.
Já o cilindro é um círculo de raio 1 centrado na origem .
Passo 4
O próximo passo é encontrar a área da região que está dentro do cilindro e fora do cilindro . Essa região é uma forma de “lente” onde os dois círculos se sobrepõem.
Passo 5
Para calcular a área dessa região, podemos usar a fórmula da área de interseção de dois círculos iguais com distância entre os centros :
Como e :
Passo 6
Agora, para encontrar a área da superfície do cone sobre essa região, usamos a fórmula da área de uma superfície :