Calcule a área da superfície em cada caso: é a porção do cone , interna ao cilindro e externa ao cilindro .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo de área de superfície. O problema pede para calcular a área da porção de um cone definido por que está dentro de um cilindro e fora de outro cilindro . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de geometria e cálculo multivariado, especialmente integração em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as figuras envolvidas. O cone é um cone circular reta que se abre para cima. Os cilindros e são cilindros circulares perpendiculares ao eixo z.

Passo 3

Vamos simplificar as equações dos cilindros para entender melhor suas posições. A equação pode ser reescrita completando o quadrado:
Isso mostra que este cilindro é um círculo de raio 1 centrado no ponto no plano xy.
Já o cilindro é um círculo de raio 1 centrado na origem .

Passo 4

O próximo passo é encontrar a área da região que está dentro do cilindro e fora do cilindro . Essa região é uma forma de “lente” onde os dois círculos se sobrepõem.

Passo 5

Para calcular a área dessa região, podemos usar a fórmula da área de interseção de dois círculos iguais com distância entre os centros :
Como e :

Passo 6

Agora, para encontrar a área da superfície do cone sobre essa região, usamos a fórmula da área de uma superfície :
Á
Para o cone , calculamos as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula:
Então, a área da superfície é:
Á

Resposta

A área da superfície é:

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Calcule a área da superfície em cada caso: é a porção do paraboloide , com , abaixo do plano .
Calcule a área da superfície em cada caso: é a porção do paraboloide , delimitada pelo cilindro vazado e .
Calcule as seguintes integrais de superfícies: é a porsão do paraboloide e .
Calcule as seguintes integrais de superfícies: é porsão do cone .