Calcule a área da superfície em cada caso: é a porção do paraboloide , com , abaixo do plano .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a área da superfície , que é a parte do paraboloide (com ) que está abaixo do plano . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a integração de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites da nossa superfície . O paraboloide dado por pode ser reescrito como . Queremos a parte desse paraboloide que está abaixo do plano , então temos:
Isso significa que estamos lidando com um círculo de raio no plano .

Passo 3

Agora, para calcular a área da superfície , usamos a fórmula da integral de superfície para :
Aqui, é a região sobre a qual vamos integrar, no caso, o círculo que encontramos.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de :

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula da área:
Simplificando:

Passo 6

Como a região é um círculo de raio , é mais fácil usar coordenadas polares. Vamos fazer a substituição:
Onde varia de 0 a e varia de 0 a . A integral fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Fazendo a substituição , temos ou . Os limites mudam para quando e quando . A integral fica:

Passo 8

Agora, resolvemos a integral externa em relação a :
Simplificando mais:

Resposta

A área da superfície é .

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Calcule a área da superfície em cada caso: é a porção do paraboloide , delimitada pelo cilindro vazado e .
Determine uma representação do plano tangente e da reta normal às superfícies no ponto indicado. , em .
Calcule a área da superfície em cada caso: é a porção do cone , interna ao cilindro e externa ao cilindro .
Calcule as seguintes integrais de superfícies: é a porsão do paraboloide e .