Calcule a área da superfície
em cada caso:
é a porção do paraboloide
, com
, abaixo do plano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a área da superfície
, que é a parte do paraboloide
(com
) que está abaixo do plano
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a integração de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites da nossa superfície
. O paraboloide dado por
pode ser reescrito como
. Queremos a parte desse paraboloide que está abaixo do plano
, então temos:
Isso significa que estamos lidando com um círculo de raio
no plano
.
Passo 3
Agora, para calcular a área da superfície
, usamos a fórmula da integral de superfície para
:
Aqui,
é a região sobre a qual vamos integrar, no caso, o círculo que encontramos.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula da área:
Simplificando:
Passo 6
Como a região
é um círculo de raio
, é mais fácil usar coordenadas polares. Vamos fazer a substituição:
Onde
varia de 0 a
e
varia de 0 a
. A integral fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Fazendo a substituição
, temos
ou
. Os limites mudam para
quando
e
quando
. A integral fica:
Passo 8
Agora, resolvemos a integral externa em relação a
:
Simplificando mais:
Resposta
A área da superfície
é
.
Exercícios relacionados
Calcule a área da superfície
em cada caso:
é a porção do paraboloide
, delimitada pelo cilindro vazado
e
.
Determine uma representação do plano tangente e da reta normal às superfícies no ponto indicado.
, em
.
Calcule a área da superfície
em cada caso:
é a porção do cone
, interna ao cilindro
e externa ao cilindro
.
Calcule as seguintes integrais de superfícies:
é a porsão do paraboloide
e
.