Calcule as seguintes integrais de superfícies: é a porsão do paraboloide e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! A questão pede para calcular a integral dupla , onde é uma parte do paraboloide definido por , com e variando entre 0 e 1. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de superfície. Imagine que você tem uma superfície tridimensional (neste caso, o paraboloide) e quer acumular alguma quantidade sobre essa superfície (como massa, carga, etc.). A integral de superfície ajuda a calcular essa soma contínua.

Passo 3

Como nosso paraboloide está dado por , podemos expressar em função de e :
Isso nos ajuda a parametrizar a superfície em termos de e .

Passo 4

Para calcular a integral de superfície, precisamos encontrar a expressão para , que representa um elemento infinitesimal de área na superfície. Para uma superfície dada por , temos:
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 5

Calculando as derivadas:
Agora, substituímos essas derivadas na expressão de :

Passo 6

Agora, substituímos tudo na integral original:
Onde é a região no plano onde e .

Passo 7

Finalmente, vamos calcular a integral dupla:
Essa integral pode ser resolvida utilizando métodos de integração apropriados, como substituição ou integração numérica, dependendo do nível de complexidade desejado.

Resposta

A integral de superfície é dada por:
Para obter o valor numérico, é necessário realizar a integração dupla mencionada.

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Calcule a área da superfície em cada caso: é a porção do cone , interna ao cilindro e externa ao cilindro .
Calcule a área da superfície em cada caso: é a porção do paraboloide , com , abaixo do plano .
Calcule as seguintes integrais de superfícies: é porsão do cone .
Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies: .