Calcule as seguintes integrais de superfícies:
é a porsão do paraboloide
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! A questão pede para calcular a integral dupla
, onde
é uma parte do paraboloide definido por
, com
e
variando entre 0 e 1. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de superfície. Imagine que você tem uma superfície tridimensional (neste caso, o paraboloide) e quer acumular alguma quantidade sobre essa superfície (como massa, carga, etc.). A integral de superfície ajuda a calcular essa soma contínua.
Passo 3
Como nosso paraboloide está dado por
, podemos expressar
em função de
e
:
Isso nos ajuda a parametrizar a superfície em termos de
e
.
Passo 4
Para calcular a integral de superfície, precisamos encontrar a expressão para
, que representa um elemento infinitesimal de área na superfície. Para uma superfície dada por
, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 5
Calculando as derivadas:
Agora, substituímos essas derivadas na expressão de
:
Passo 6
Agora, substituímos tudo na integral original:
Onde
é a região no plano
onde
e
.
Passo 7
Finalmente, vamos calcular a integral dupla:
Essa integral pode ser resolvida utilizando métodos de integração apropriados, como substituição ou integração numérica, dependendo do nível de complexidade desejado.
Resposta
A integral de superfície é dada por:
Para obter o valor numérico, é necessário realizar a integração dupla mencionada.
Exercícios relacionados
Calcule a área da superfície
em cada caso:
é a porção do cone
, interna ao cilindro
e externa ao cilindro
.
Calcule a área da superfície
em cada caso:
é a porção do paraboloide
, com
, abaixo do plano
.
Calcule as seguintes integrais de superfícies:
é porsão do cone
.
Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies:
.