Calcule as seguintes integrais de superfícies: integral duplaS x y d S, S é a porsão do paraboloide x^2+y^2=2 z, 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! A questão pede para calcular a integral dupla integral duplaS x y , dS, onde S é uma parte do paraboloide definido por x^2 + y^2 = 2 z, com x e y variando entre 0 e 1. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de superfície. Imagine que você tem uma superfície tridimensional (neste caso, o paraboloide) e quer acumular alguma quantidade sobre essa superfície (como massa, carga, etc.). A integral de superfície ajuda a calcular essa soma contínua.

Passo 3

Como nosso paraboloide está dado por x^2 + y^2 = 2 z, podemos expressar z em função de x e y:
z = x^2 + y^22
Isso nos ajuda a parametrizar a superfície em termos de x e y.

Passo 4

Para calcular a integral de superfície, precisamos encontrar a expressão para dS, que representa um elemento infinitesimal de área na superfície. Para uma superfície dada por z = f(x,y), temos:
dS = raiz ( partial zpartial x )^2 + ( partial zpartial y )^2 + 1 , dx , dy
Vamos calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y.

Passo 5

Calculando as derivadas:
partial zpartial x = 2x2 = x
partial zpartial y = 2y2 = y
Agora, substituímos essas derivadas na expressão de dS:
dS = raiz x^2 + y^2 + 1 , dx , dy

Passo 6

Agora, substituímos tudo na integral original:
integral duplaS x y , dS = integral duplaD x y raiz x^2 + y^2 + 1 , dx , dy
Onde D é a região no plano xy onde 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1.

Passo 7

Finalmente, vamos calcular a integral dupla:
integral dupla0^1 integral0^1 x y raiz x^2 + y^2 + 1 , dx , dy
Essa integral pode ser resolvida utilizando métodos de integração apropriados, como substituição ou integração numérica, dependendo do nível de complexidade desejado.

Resposta

A integral de superfície é dada por:
integral duplaS x y , dS = integral0^1 integral0^1 x y raiz x^2 + y^2 + 1 , dx , dy
Para obter o valor numérico, é necessário realizar a integração dupla mencionada.

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