Calcule a área da superfície em cada caso: é a porção do paraboloide , delimitada pelo cilindro vazado e .
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a área da superfície que é uma parte do paraboloide dado por . Essa parte específica está limitada por um cilindro vazado definido por e está localizada no primeiro quadrante, ou seja, e . Vamos precisar usar cálculo de superfícies e coordenadas polares para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação do paraboloide para facilitar: . A área de uma superfície é dada pela integral dupla:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula da área, temos:
Passo 5
Observando que a região é definida por e , , é conveniente mudar para coordenadas polares. Lembrando que e , e o elemento de área .
Passo 6
Em coordenadas polares, a expressão dentro da raiz fica:
Então, a área fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em :
Fazendo a substituição , então , ou seja, . Quando , , e quando , .