Calcule a área da superfície em cada caso: é a porção do paraboloide , delimitada pelo cilindro vazado e .

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a área da superfície que é uma parte do paraboloide dado por . Essa parte específica está limitada por um cilindro vazado definido por e está localizada no primeiro quadrante, ou seja, e . Vamos precisar usar cálculo de superfícies e coordenadas polares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do paraboloide para facilitar: . A área de uma superfície é dada pela integral dupla:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula da área, temos:

Passo 5

Observando que a região é definida por e , , é conveniente mudar para coordenadas polares. Lembrando que e , e o elemento de área .

Passo 6

Em coordenadas polares, a expressão dentro da raiz fica:
Então, a área fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em :
Fazendo a substituição , então , ou seja, . Quando , , e quando , .
Então, a integral passa a ser:

Passo 8

Agora, voltamos à integral em :

Passo 9

Simplificando, temos:

Resposta

A área da superfície é:

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Determine uma representação do plano tangente e da reta normal às superfícies no ponto indicado. , em .
Determine a representação cartesiana das seguintes superfícies: O paraboloide hiperbólico .
Calcule a área da superfície em cada caso: é a porção do paraboloide , com , abaixo do plano .
Calcule a área da superfície em cada caso: é a porção do cone , interna ao cilindro e externa ao cilindro .