Calcule as seguintes integrais de superfícies: é porsão do cone .

Passo 1

Beleza, vamos começar! O exercício pede para a gente calcular a integral de superfície , onde é uma porção do cone definido por , entre . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais de superfícies, que faz parte do cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a superfície do cone e calcular o elemento de área .

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o cone. Para isso, usamos coordenadas cilíndricas, onde , , e , já que implica . Então, nossos parâmetros são e , onde varia de 1 a 2 e varia de a .

Passo 3

Agora, vamos expressar a posição em termos dos parâmetros:
Para encontrar o elemento de área , precisamos calcular o produto vetorial dos vetores derivadas parciais em relação a e .

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
O produto vetorial nos dá um vetor normal à superfície, e o módulo desse vetor é o elemento de área multiplicado por .

Passo 5

Calculando o produto vetorial:
O módulo desse vetor é:
Portanto, o elemento de área é:

Passo 6

Agora, substituímos na integral:
Simplificando:

Passo 7

Sabemos que:
Então, substituindo:

Passo 8

Calculando a integral de :
Avaliado de 1 a 2:

Passo 9

Finalmente, multiplicamos pelos fatores constantes:

Resposta

O valor da integral de superfície é .

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais de superfícies: é a porsão do paraboloide e .
Calcule a área da superfície em cada caso: é a porção do cone , interna ao cilindro e externa ao cilindro .
Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies: .
Calcule as seguintes integrais de linha: é qualquer curva regular fechada simples, que não envolve a origem.