Calcule as seguintes integrais de superfícies: integral duplaS x^2 d S, S é porsão do cone x^2+y^2=z^2, 1 <= z <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos começar! O exercício pede para a gente calcular a integral de superfície integral duplaS x^2 d S, onde S é uma porção do cone definido por x^2+y^2=z^2, entre 1 <= z <= 2. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais de superfícies, que faz parte do cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a superfície do cone e calcular o elemento de área dS.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o cone. Para isso, usamos coordenadas cilíndricas, onde x = r costheta, y = r sintheta, e z = r, já que x^2 + y^2 = z^2 implica r = z. Então, nossos parâmetros são z e theta, onde z varia de 1 a 2 e theta varia de 0 a 2pi.

Passo 3

Agora, vamos expressar a posição em termos dos parâmetros:
r(z, theta) = (z costheta, z sintheta, z)
Para encontrar o elemento de área dS, precisamos calcular o produto vetorial dos vetores derivadas parciais em relação a z e theta.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
rz = partial rpartial z = (costheta, sintheta, 1)
rtheta = partial rpartial theta = (-z sintheta, z costheta, 0)
O produto vetorial rz times rtheta nos dá um vetor normal à superfície, e o módulo desse vetor é o elemento de área dS multiplicado por dz dtheta.

Passo 5

Calculando o produto vetorial:
rz times rtheta = (-z costheta, -z sintheta, z)
O módulo desse vetor é:
|rz times rtheta| = raiz(-z costheta)^2 + (-z sintheta)^2 + z^2 = raizz^2 cos^2theta + z^2 sin^2theta + z^2 = z raiz2
Portanto, o elemento de área é:
dS = |rz times rtheta| dz dtheta = z raiz2 dz dtheta

Passo 6

Agora, substituímos na integral:
integral duplaS x^2 d S = integralz=1^2 integraltheta=0^2pi (z costheta)^2 cdot z raiz2 dtheta dz = raiz2 integral1^2 integral0^2pi z^3 cos^2theta dtheta dz
Simplificando:
= raiz2 integral1^2 z^3 ( integral0^2pi cos^2theta dtheta ) dz

Passo 7

Sabemos que:
integral0^2pi cos^2theta dtheta = pi
Então, substituindo:
raiz2 integral1^2 z^3 cdot pi dz = pi raiz2 integral1^2 z^3 dz

Passo 8

Calculando a integral de z^3:
integral z^3 dz = z^44
Avaliado de 1 a 2:
2^44 - 1^44 = 164 - 14 = 154

Passo 9

Finalmente, multiplicamos pelos fatores constantes:
pi raiz2 cdot 154 = 154 pi raiz2

Resposta

O valor da integral de superfície é 154 pi raiz2.

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