Calcule as seguintes integrais de superfícies:
é porsão do cone
.
Passo 1
Beleza, vamos começar! O exercício pede para a gente calcular a integral de superfície
, onde
é uma porção do cone definido por
, entre
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais de superfícies, que faz parte do cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a superfície do cone e calcular o elemento de área
.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o cone. Para isso, usamos coordenadas cilíndricas, onde
,
, e
, já que
implica
. Então, nossos parâmetros são
e
, onde
varia de 1 a 2 e
varia de
a
.
Passo 3
Agora, vamos expressar a posição em termos dos parâmetros:
Para encontrar o elemento de área
, precisamos calcular o produto vetorial dos vetores derivadas parciais em relação a
e
.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
O produto vetorial
nos dá um vetor normal à superfície, e o módulo desse vetor é o elemento de área
multiplicado por
.
Passo 5
Calculando o produto vetorial:
O módulo desse vetor é:
Portanto, o elemento de área é:
Passo 6
Agora, substituímos na integral:
Simplificando:
Passo 7
Sabemos que:
Então, substituindo:
Passo 8
Calculando a integral de
:
Avaliado de 1 a 2:
Passo 9
Finalmente, multiplicamos pelos fatores constantes:
Resposta
O valor da integral de superfície é
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais de superfícies:
é a porsão do paraboloide
e
.
Calcule a área da superfície
em cada caso:
é a porção do cone
, interna ao cilindro
e externa ao cilindro
.
Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies:
.
Calcule as seguintes integrais de linha:
é qualquer curva regular fechada simples, que não envolve a origem.