Determine uma representação do plano tangente e da reta normal às superfícies no ponto indicado. , em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a equação do plano tangente e da reta normal à superfície definida por no ponto . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais, que nos ajudam a determinar a inclinação da superfície naquele ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície . Nesse caso, não aparece na equação, então a superfície é um paraboloide que se estende ao longo do eixo . O ponto está sobre essa superfície, pois substituindo na equação , temos , que coincide com as coordenadas de .

Passo 3

Para encontrar o plano tangente à superfície no ponto , precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dão a inclinação da superfície em cada direção no ponto específico.
A função dada é . Vamos calcular as derivadas parciais:
No ponto , substituindo :

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula geral:
Substituindo os valores encontrados e as coordenadas de :
Essa é a equação do plano tangente à superfície no ponto .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a reta normal à superfície no ponto . A reta normal é perpendicular ao plano tangente e, portanto, tem como direção o vetor normal ao plano.
O vetor normal ao plano tangente pode ser obtido a partir dos coeficientes das derivadas parciais na equação do plano. No nosso caso, a equação do plano é , que pode ser reescrita como . Assim, o vetor normal é .
A equação paramétrica da reta normal que passa pelo ponto é então dada por:
onde é o parâmetro.

Resposta

A equação do plano tangente à superfície em é e a equação paramétrica da reta normal é:

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