Determine uma representação do plano tangente e da reta normal às superfícies no ponto indicado. , em .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar o plano tangente e a reta normal à superfície definida pela equação no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o plano tangente. O plano tangente em um ponto de uma superfície é o melhor plano que “tocas” a superfície nesse ponto, sem cortar a superfície ali. Para encontrar esse plano, precisamos das derivadas parciais da função em relação a e .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
No ponto , substituímos e :
Passo 4
Com as derivadas parciais, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo :
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a reta normal. A reta normal é perpendicular ao plano tangente e passa pelo ponto . Para isso, usamos o vetor normal ao plano, que pode ser obtido a partir das derivadas parciais.
O vetor normal é dado por:
Passo 6
Com o vetor normal e o ponto , podemos escrever a equação paramétrica da reta normal:
Onde e é o parâmetro.
Substituindo:
Resposta
O plano tangente à superfície no ponto é dado por: