Determine uma representação do plano tangente e da reta normal às superfícies no ponto indicado. , em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar o plano tangente e a reta normal à superfície definida pela equação no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o plano tangente. O plano tangente em um ponto de uma superfície é o melhor plano que “tocas” a superfície nesse ponto, sem cortar a superfície ali. Para encontrar esse plano, precisamos das derivadas parciais da função em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
No ponto , substituímos e :

Passo 4

Com as derivadas parciais, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a reta normal. A reta normal é perpendicular ao plano tangente e passa pelo ponto . Para isso, usamos o vetor normal ao plano, que pode ser obtido a partir das derivadas parciais.
O vetor normal é dado por:

Passo 6

Com o vetor normal e o ponto , podemos escrever a equação paramétrica da reta normal:
Onde e é o parâmetro.
Substituindo:

Resposta

O plano tangente à superfície no ponto é dado por:
E a reta normal à superfície no mesmo ponto é:

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Determine a representação cartesiana das seguintes superfícies: O paraboloide hiperbólico .
Determine uma representação paramétrica para as seguintes superfícies: O paraboloide .
Calcule a área da superfície em cada caso: é a porção do paraboloide , delimitada pelo cilindro vazado e .
Calcule a área da superfície em cada caso: é a porção do paraboloide , com , abaixo do plano .