Determine a representação cartesiana das seguintes superfícies: O paraboloide hiperbólico .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a representação vetorial de uma superfície chamada paraboloide hiperbólico, dada por:
Nosso objetivo é transformar essa representação em uma equação cartesiana, ou seja, uma equação que envolva apenas as coordenadas , e .

Passo 2

Vamos separar as componentes da representação vetorial:
Aqui, e são os parâmetros que definem a superfície.

Passo 3

Observamos que a terceira equação relaciona diretamente com :
Podemos resolver essa equação para :
Assumimos que para que a raiz seja válida.

Passo 4

Agora, vamos substituir nas duas primeiras equações:
Nosso próximo passo é eliminar o parâmetro dessas equações.

Passo 5

Dividimos a primeira equação por e a segunda por :
Agora, vamos elevar ambas as equações ao quadrado:

Passo 6

Subtraímos a segunda equação da primeira:
Lembrando que , temos:

Resposta

A representação cartesiana da superfície é:

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Determine uma representação paramétrica para as seguintes superfícies: O paraboloide .
Determine uma representação paramétrica para as seguintes superfícies: O plano .
Determine uma representação do plano tangente e da reta normal às superfícies no ponto indicado. , em .
Calcule a área da superfície em cada caso: é a porção do paraboloide , delimitada pelo cilindro vazado e .