Determine a representação cartesiana das seguintes superfícies: O paraboloide hiperbólico
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a representação vetorial de uma superfície chamada paraboloide hiperbólico, dada por:
Nosso objetivo é transformar essa representação em uma equação cartesiana, ou seja, uma equação que envolva apenas as coordenadas
,
e
.
Passo 2
Vamos separar as componentes da representação vetorial:
Aqui,
e
são os parâmetros que definem a superfície.
Passo 3
Observamos que a terceira equação relaciona diretamente
com
:
Podemos resolver essa equação para
:
Assumimos que
para que a raiz seja válida.
Passo 4
Agora, vamos substituir
nas duas primeiras equações:
Nosso próximo passo é eliminar o parâmetro
dessas equações.
Passo 5
Dividimos a primeira equação por
e a segunda por
:
Agora, vamos elevar ambas as equações ao quadrado:
Passo 6
Subtraímos a segunda equação da primeira:
Lembrando que
, temos:
Resposta
A representação cartesiana da superfície é:
Exercícios relacionados
Determine uma representação paramétrica para as seguintes superfícies: O paraboloide
.
Determine uma representação paramétrica para as seguintes superfícies: O plano
.
Determine uma representação do plano tangente e da reta normal às superfícies no ponto indicado.
, em
.
Calcule a área da superfície
em cada caso:
é a porção do paraboloide
, delimitada pelo cilindro vazado
e
.