Calcule a área da superfície do cone definido por
r(u, v) = v * cos(u) * i + v * sen(u) * j + v * k
com 0 <= u <= 2 pi e 0 <= v <= 1.

Passo 1

Beleza! Vamos calcular a área da superfície de um cone definido pelo vetor posição , onde e . Isso faz parte da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente sobre cálculo de áreas de superfícies parametrizadas. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais, produtos vetoriais e integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais do vetor posição em relação a e . Essas derivadas nos dão os vetores tangentes à superfície, que são fundamentais para calcular a área.

Passo 3

Vamos calcular , que é a derivada de em relação a :
Agora, vamos calcular , que é a derivada de em relação a :

Passo 4

Com os vetores e em mãos, o próximo passo é calcular o produto vetorial . Esse produto nos dá um vetor normal à superfície, e seu módulo será usado para a área.
Calculando o determinante:
Simplificando:
Como :

Passo 5

Agora, vamos calcular o módulo de , que é a magnitude desse vetor:
Fatorando :

Passo 6

Com o módulo encontrado, podemos agora configurar a integral dupla para calcular a área :

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a :
Agora, integraremos o resultado em relação a :

Resposta

A área da superfície do cone é unidades quadradas.

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