Calcule a área da superfície do cone definido por
com
e
.
Passo 1
Beleza! Vamos calcular a área da superfície de um cone definido pelo vetor posição , onde
e
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente sobre cálculo de áreas de superfícies parametrizadas. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais, produtos vetoriais e integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais do vetor posição
em relação a
e
. Essas derivadas nos dão os vetores tangentes à superfície, que são fundamentais para calcular a área.
Passo 3
Vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
:
Agora, vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Com os vetores
e
em mãos, o próximo passo é calcular o produto vetorial
. Esse produto nos dá um vetor normal à superfície, e seu módulo será usado para a área.
Calculando o determinante:
Simplificando:
Como :
Passo 5
Agora, vamos calcular o módulo de
, que é a magnitude desse vetor:
Fatorando
:
Passo 6
Com o módulo encontrado, podemos agora configurar a integral dupla para calcular a área
:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a
:
Agora, integraremos o resultado em relação a
:
Resposta
A área da superfície do cone é
unidades quadradas.