Determine o trabalho feito pelo campo de força
ao se mover uma partícula ao longo do quarto de círculo
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial onde precisamos determinar o trabalho realizado por um campo de força ao mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo. Vamos usar conceitos de integrais de linha e cálculo de trabalho em campos de força.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o campo de força dado:
. Esse campo define a força aplicada em cada ponto do plano.
Passo 3
A trajetória da partícula é dada por
para
. Isso representa um quarto de círculo de raio 1.
Passo 4
Para calcular o trabalho, usamos a fórmula da integral de linha:
onde
é o caminho percorrido.
Passo 5
Vamos parametrizar o caminho usando
. Calculamos a derivada de
em relação a
:
Passo 6
Substituímos
no campo de força:
Passo 7
Calculamos o produto escalar
:
Passo 8
Integrando de 0 a
:
Simplificando:
Passo 9
Calculamos as integrais separadamente:
Passo 10
Aplicando os limites:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de força é
.