Determine o trabalho feito pelo campo de força F(x, y) = x i + y^2 j ao se mover uma partícula ao longo do quarto de círculo r(t) = cos(t) i + sen(t) j, 0 <= t <= pi / 2.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial onde precisamos determinar o trabalho realizado por um campo de força ao mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo. Vamos usar conceitos de integrais de linha e cálculo de trabalho em campos de força.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o campo de força dado: . Esse campo define a força aplicada em cada ponto do plano.

Passo 3

A trajetória da partícula é dada por para . Isso representa um quarto de círculo de raio 1.

Passo 4

Para calcular o trabalho, usamos a fórmula da integral de linha:
onde é o caminho percorrido.

Passo 5

Vamos parametrizar o caminho usando . Calculamos a derivada de em relação a :

Passo 6

Substituímos no campo de força:

Passo 7

Calculamos o produto escalar :

Passo 8

Integrando de 0 a :
Simplificando:

Passo 9

Calculamos as integrais separadamente:

Passo 10

Aplicando os limites:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força é .

Exercícios relacionados