Determine o trabalho feito pelo campo de força
ao se mover uma partícula ao longo do semicírculo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar o trabalho feito por um campo de força dado por
quando uma partícula se move ao longo de um semicírculo definido por
, onde
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o cálculo de integrais de linha para determinar o trabalho realizado por um campo de força ao longo de um caminho.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o trabalho
feito por um campo de força ao mover uma partícula ao longo de um caminho
é dado pela integral de linha:
Aqui,
é o campo de força e
é o vetor diferencial ao longo do caminho.
Passo 3
Vamos parametrizar o caminho
usando a função fornecida
, onde
varia de
a
. Isso descreve um semicírculo no plano
.
Passo 4
O próximo passo é encontrar
, que é a derivada de
em relação a
:
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos substituir as coordenadas de
no campo de força
:
Passo 6
Para encontrar o trabalho, calculamos o produto escalar
:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Agora, integramos isso de
a
para encontrar o trabalho total:
Resposta
O trabalho feito pelo campo de força é
.