Determine o trabalho feito pelo campo de força F(x, y) = y i - x j ao se mover uma partícula ao longo do semicírculo r(t) = cos(t) i + sen(t) j, 0 <= t <= pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar o trabalho feito por um campo de força dado por quando uma partícula se move ao longo de um semicírculo definido por , onde . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o cálculo de integrais de linha para determinar o trabalho realizado por um campo de força ao longo de um caminho.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o trabalho feito por um campo de força ao mover uma partícula ao longo de um caminho é dado pela integral de linha:
Aqui, é o campo de força e é o vetor diferencial ao longo do caminho.

Passo 3

Vamos parametrizar o caminho usando a função fornecida , onde varia de a . Isso descreve um semicírculo no plano .

Passo 4

O próximo passo é encontrar , que é a derivada de em relação a :
Então, .

Passo 5

Agora, vamos substituir as coordenadas de no campo de força :

Passo 6

Para encontrar o trabalho, calculamos o produto escalar :
Sabemos que , então:

Passo 7

Agora, integramos isso de a para encontrar o trabalho total:

Resposta

O trabalho feito pelo campo de força é .

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