Calcule a integral de linha
, onde C é o segmento de reta entre
e
, considerando que
a) C está orientada de
para
.
a) C está orientada de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
é o trecho de reta que vai de
até
. Isso envolve conceitos de cálculo como parametrização de curvas e integrais de linha. Vamos precisar definir uma forma de representar a curva
de maneira matemática para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a reta que vai de
a
. Como
é uma reta, dá para usar um parâmetro
que varia de 0 a 1 para representar todos os pontos entre
e
.
Então, temos:
Aqui, quando
, estamos em
, e quando
, chegamos em
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular
, que representa um pequeno elemento de comprimento ao longo da curva. A fórmula para
em termos de
é:
Vamos calcular as derivadas:
Substituindo na fórmula:
Passo 4
Com as parametrizações prontas, vamos substituir tudo na integral:
Simplificando dentro da integral:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Agora, avaliamos de
até
:
Multiplicando pelo
que está fora da integral:
Resposta
A integral de linha vale
.