Calcule a integral de linha integralC(1+x y^2) d s, onde C é o segmento de reta entre A(0,0) e B(1,2), considerando que
a) C está orientada de A para B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha integralC(1+x y^2) d s, onde C é o trecho de reta que vai de A(0,0) até B(1,2). Isso envolve conceitos de cálculo como parametrização de curvas e integrais de linha. Vamos precisar definir uma forma de representar a curva C de maneira matemática para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta que vai de A a B. Como C é uma reta, dá para usar um parâmetro t que varia de 0 a 1 para representar todos os pontos entre A e B.
Então, temos:
x(t) = 0 + t(1 - 0) = t
y(t) = 0 + t(2 - 0) = 2t
Aqui, quando t = 0, estamos em A(0,0), e quando t = 1, chegamos em B(1,2).

Passo 3

Agora, precisamos calcular ds, que representa um pequeno elemento de comprimento ao longo da curva. A fórmula para ds em termos de t é:
ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 dt
Vamos calcular as derivadas:
dxdt = 1
dydt = 2
Substituindo na fórmula:
ds = raiz1^2 + 2^2 dt = raiz1 + 4 dt = raiz5 , dt

Passo 4

Com as parametrizações prontas, vamos substituir tudo na integral:
integralC(1 + x y^2) ds = integral0^1 (1 + t cdot (2t)^2) raiz5 , dt
Simplificando dentro da integral:
= raiz5 integral0^1 (1 + t cdot 4t^2) dt = raiz5 integral0^1 (1 + 4t^3) dt

Passo 5

Vamos calcular a integral:
integral (1 + 4t^3) dt = integral 1 , dt + 4 integral t^3 , dt = t + 4 cdot t^44 = t + t^4
Agora, avaliamos de t = 0 até t = 1:
[ t + t^4 ]0^1 = (1 + 1) - (0 + 0) = 2
Multiplicando pelo raiz5 que está fora da integral:
raiz5 cdot 2 = 2raiz5

Resposta

A integral de linha vale 2 raiz5.

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