Calcule a área da superfície dada por

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da superfície definida por . Isso envolve conceitos de geometria espacial, especificamente o cálculo de áreas de superfícies de cilindros. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas polares e integrais para encontrar a área total dessa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma da superfície . A equação representa um cilindro circular com raio 1, alinhado ao eixo . A condição significa que a altura do cilindro varia dependendo de . Então, a superfície que queremos calcular é a parte lateral desse cilindro onde a altura vai de 0 até .

Passo 3

Para calcular a área dessa superfície, vamos parametrizar o cilindro usando coordenadas polares. Podemos definir e , onde varia de a . A altura varia de 0 a . A fórmula para a área lateral de um cilindro parametrizado é:
onde é a altura em função de e é o raio do cilindro.

Passo 4

No nosso caso, o raio e a altura . Substituindo esses valores na fórmula, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular essa integral. Podemos separar a integral em duas partes:
A primeira integral, , é uma integral padrão cujo resultado é . A segunda integral, , é simplesmente multiplicado pela amplitude do intervalo, que é , resultando em .

Passo 6

Somando as duas partes:

Resposta

A área da superfície é .

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