Calcule a área da superfície
dada por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da superfície
definida por
. Isso envolve conceitos de geometria espacial, especificamente o cálculo de áreas de superfícies de cilindros. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas polares e integrais para encontrar a área total dessa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma da superfície
. A equação
representa um cilindro circular com raio 1, alinhado ao eixo
. A condição
significa que a altura do cilindro varia dependendo de
. Então, a superfície que queremos calcular é a parte lateral desse cilindro onde a altura vai de 0 até
.
Passo 3
Para calcular a área dessa superfície, vamos parametrizar o cilindro usando coordenadas polares. Podemos definir
e
, onde
varia de
a
. A altura
varia de 0 a
. A fórmula para a área lateral de um cilindro parametrizado é:
onde
é a altura em função de
e
é o raio do cilindro.
Passo 4
No nosso caso, o raio
e a altura
. Substituindo esses valores na fórmula, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular essa integral. Podemos separar a integral em duas partes:
A primeira integral,
, é uma integral padrão cujo resultado é
. A segunda integral,
, é simplesmente
multiplicado pela amplitude do intervalo, que é
, resultando em
.
Passo 6
Somando as duas partes:
Resposta
A área da superfície
é
.
Exercícios relacionados
Encontre e esboce o domínio das funções a seguir.
Encontre e esboce o domínio das funções a seguir.
Encontre e esboce o domínio das funções a seguir.
Calcule o trabalho
feito pelo campo
ao se mover uma partícula ao longo de uma trajetória parabólica do ponto
ao ponto
.