Encontre e esboce o domínio das funções a seguir.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar e esboçar o domínio dessa função.
Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com funções de duas variáveis e queremos identificar o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida.
O que vamos precisar: Vamos usar conceitos de domínio de funções, propriedades das raízes quadradas e desigualdades para determinar os valores de
e
que tornam a expressão dentro da raiz não negativa.
Passo 2
Para encontrar o domínio da função, precisamos garantir que o que está dentro da raiz quadrada seja maior ou igual a zero, já que a raiz quadrada de um número negativo não é definida nos números reais.
Então, estabelecemos a seguinte condição:
Passo 3
Vamos reorganizar a desigualdade para facilitar a compreensão:
Essa é uma inequação que representa todos os pontos
cuja soma dos quadrados das coordenadas é menor ou igual a 49.
Passo 4
Reconhecemos que a expressão
representa a equação de um círculo centrado na origem
com raio
, onde
.
Portanto, a desigualdade
descreve todos os pontos dentro e sobre a circunferência desse círculo.
Passo 5
Assim, o domínio da função
consiste em todos os pares
que estão dentro ou sobre o círculo de raio 7 centrado na origem.
Em termos matemáticos:
Passo 6
Para esboçar o domínio, desenhamos um círculo com raio 7 no plano cartesiano, centrado no ponto
. Todos os pontos dentro desse círculo, incluindo a borda, fazem parte do domínio da função.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pares
que satisfazem
. Geometricamente, isso corresponde a todos os pontos dentro e sobre um círculo de raio 7 centrado na origem no plano
.
Exercícios relacionados
Calcule a área da superfície
dada por
Encontre e esboce o domínio das funções a seguir.
Calcule o trabalho
feito pelo campo
ao se mover uma partícula ao longo de uma trajetória parabólica do ponto
ao ponto
.
Determine se o campo
é conservativo. Se for, determine uma função potencial e utilize o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha para calcular a integral do campo ao longo da curva que sai de
até
.