Encontre e esboce o domínio das funções a seguir.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar e esboçar o domínio dessa função.
Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com funções de duas variáveis e queremos identificar o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida.
O que vamos precisar: Vamos usar conceitos de domínio de funções, propriedades das raízes quadradas e desigualdades para determinar os valores de e que tornam a expressão dentro da raiz não negativa.

Passo 2

Para encontrar o domínio da função, precisamos garantir que o que está dentro da raiz quadrada seja maior ou igual a zero, já que a raiz quadrada de um número negativo não é definida nos números reais.
Então, estabelecemos a seguinte condição:

Passo 3

Vamos reorganizar a desigualdade para facilitar a compreensão:
Essa é uma inequação que representa todos os pontos cuja soma dos quadrados das coordenadas é menor ou igual a 49.

Passo 4

Reconhecemos que a expressão representa a equação de um círculo centrado na origem com raio , onde .
Portanto, a desigualdade descreve todos os pontos dentro e sobre a circunferência desse círculo.

Passo 5

Assim, o domínio da função consiste em todos os pares que estão dentro ou sobre o círculo de raio 7 centrado na origem.
Em termos matemáticos:

Passo 6

Para esboçar o domínio, desenhamos um círculo com raio 7 no plano cartesiano, centrado no ponto . Todos os pontos dentro desse círculo, incluindo a borda, fazem parte do domínio da função.

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pares que satisfazem . Geometricamente, isso corresponde a todos os pontos dentro e sobre um círculo de raio 7 centrado na origem no plano .

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