Calcule o trabalho feito pelo campo
ao se mover uma partícula ao longo de uma trajetória parabólica do ponto ao ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o trabalho realizado por um campo vetorial dado por quando uma partícula se move ao longo de uma trajetória parabólica do ponto até o ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de trabalho por um campo vetorial ao longo de um caminho.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é trabalho em um campo vetorial. O trabalho realizado por um campo ao longo de uma curva é dado pela integral de linha:
Isso significa que vamos integrar o produto escalar do campo vetorial com o diferencial de posição ao longo da trajetória .

Passo 3

Vamos parametrizar a trajetória parabólica. Como estamos indo de a , podemos associar com usando uma equação de segundo grau. Vamos assumir que a trajetória é , onde é uma constante que precisamos encontrar.
Sabemos que quando , , então:
Então, a equação da parábola �� .

Passo 4

Agora, parametrizamos a curva com o parâmetro , já que podemos expressar em função de . Então, temos:
Onde varia de a (já que vai de a ).
O vetor posição é:
E o diferencial é a derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos e na expressão do campo usando a parametrização:

Passo 6

Calculamos o produto escalar :

Passo 7

Agora, integramos essa expressão de a para encontrar o trabalho:

Passo 8

Vamos calcular a integral termo a termo:
Então, a integral completa fica:

Passo 9

Agora, avaliamos de a :
Para :
Para :
Então,

Resposta

O trabalho realizado pelo campo ao mover a partícula ao longo da trajetória é 92 unidades de trabalho.

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