Calcule o trabalho tau feito pelo campo
F(x, y) = (6xy, 3y^2 + 1)
ao se mover uma partícula ao longo de uma trajetória parabólica do ponto (0,0) ao ponto 2,4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o trabalho tau realizado por um campo vetorial dado por quando uma partícula se move ao longo de uma trajetória parabólica do ponto (0,0) até o ponto 2,4. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de trabalho por um campo vetorial ao longo de um caminho.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é trabalho em um campo vetorial. O trabalho tau realizado por um campo F ao longo de uma curva C é dado pela integral de linha:
Isso significa que vamos integrar o produto escalar do campo vetorial F com o diferencial de posição ao longo da trajetória C.

Passo 3

Vamos parametrizar a trajetória parabólica. Como estamos indo de (0,0) a 2,4, podemos associar y com x usando uma equação de segundo grau. Vamos assumir que a trajetória é , onde k é uma constante que precisamos encontrar.
Sabemos que quando x = 2, , então:
Então, a equação da parábola �� .

Passo 4

Agora, parametrizamos a curva C com o parâmetro x, já que podemos expressar y em função de x. Então, temos:
Onde t varia de 0 a (já que x vai de 0 a ).
O vetor posição r(t) é:
E o diferencial é a derivada de r(t) em relação a t:

Passo 5

Agora, substituímos x e y na expressão do campo F(x, y) usando a parametrização:

Passo 6

Calculamos o produto escalar :

Passo 7

Agora, integramos essa expressão de a para encontrar o trabalho:

Passo 8

Vamos calcular a integral termo a termo:
Então, a integral completa fica:

Passo 9

Agora, avaliamos de a :
Para :
Para :
Então,

Resposta

O trabalho tau realizado pelo campo ao mover a partícula ao longo da trajetória é 92 unidades de trabalho.

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