Calcule o trabalho
feito pelo campo
ao se mover uma partícula ao longo de uma trajetória parabólica do ponto
ao ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o trabalho
realizado por um campo vetorial dado por
quando uma partícula se move ao longo de uma trajetória parabólica do ponto
até o ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de trabalho por um campo vetorial ao longo de um caminho.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é trabalho em um campo vetorial. O trabalho
realizado por um campo
ao longo de uma curva
é dado pela integral de linha:
Isso significa que vamos integrar o produto escalar do campo vetorial
com o diferencial de posição
ao longo da trajetória
.
Passo 3
Vamos parametrizar a trajetória parabólica. Como estamos indo de
a
, podemos associar
com
usando uma equação de segundo grau. Vamos assumir que a trajetória é
, onde
é uma constante que precisamos encontrar.
Sabemos que quando
,
, então:
Então, a equação da parábola ��
.
Passo 4
Agora, parametrizamos a curva
com o parâmetro
, já que podemos expressar
em função de
. Então, temos:
Onde
varia de
a
(já que
vai de
a
).
O vetor posição
é:
E o diferencial
é a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na expressão do campo
usando a parametrização:
Passo 6
Calculamos o produto escalar
:
Passo 7
Agora, integramos essa expressão de
a
para encontrar o trabalho:
Passo 8
Vamos calcular a integral termo a termo:
Então, a integral completa fica:
Passo 9
Agora, avaliamos de
a
:
Para
:
Para
:
Então,
Resposta
O trabalho
realizado pelo campo ao mover a partícula ao longo da trajetória é 92 unidades de trabalho.
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dada por
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é conservativo. Se for, determine uma função potencial e utilize o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha para calcular a integral do campo ao longo da curva que sai de
até
.
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